Интервью с Александром Калмыниным

Арнольдовский стипендиат 2016 года Александр Калмынин рассказал о своих интересах в аналитической теории чисел, планах и турнирах по Dota2.

В этом году ты стал лауреатом арнольдовской стипендии. Ее дают за хорошую учебу или за научную работу? За что ты получил премию?

 

"Я просто проинтегрировал по частям".

А если серьезно, то оба критерия, насколько я понимаю, играют существенную роль в выборе стипендиата. За счёт довольно жестких ограничений по успеваемости отсеивается большое количество кандидатов. Помимо этого, важно, чтобы жюри понимало, что ты сможешь прочитать на дне Арнольда заслуживающий внимания доклад. Над этим я, кстати, уже работаю: буду рассказывать о неравномерностях в распределении простых чисел. 

Чем сейчас занимаешься? Можешь описать какие-то свои результаты? Что хотел бы сделать?

 

Я занимаюсь аналитической теорией чисел. Это очень классический раздел, который сейчас к тому же чрезвычайно актуален, потому что за последнее время сделано много важных продвижений. Можно сказать, что это такая наука о целочисленных последовательностях (хотя, на самом деле, любое чёткое определение всегда будет слишком узким). Бывают последовательности понятные: например, квадраты целых чисел. Бывают загадочные: например, простые числа или числа, представимые суммами двух квадратов. А бывают такие, про которые и вовсе ничего не понятно. Например, простые числа вида n^2+1: уже больше ста лет гипотезе о том, что их бесконечно много.

В аналитической теории чисел, кроме того, принято задавать разные количественные вопросы. То есть приятно не только знать, что в последовательности бесконечно много элементов, но и то, насколько именно их много. Иными словами, бесконечности бывают разные. Например, при больших N в отрезке [1,N] простых чисел намного больше, чем квадратов (~N/log N против ~N^(1/2)). Хочу привести пример количественного вопроса, который меня интересует, и к которому я периодически возвращаюсь: насколько хорошо можно приближать натуральные числа суммами двух квадратов? Давно и хорошо известно, что для любого натурального числа N  отрезок [1,N] содержит хотя бы одно число, представимое суммой двух квадратов (здесь c — некоторая константа). По видимому, это было известно ещё Эйлеру. Можно ли этот отрезок сделать меньше — открытый вопрос. Например, доказать такой факт хотя бы для отрезков вида [N,N+N^(1/4)/loglogN] уже было бы очень хорошо.

Насчет моих результатов. Своим лучшим на данный момент результатом я считаю факт о числах Новака. Числа Новака — это такие натуральные N, что 2^N+1 делится на N. Первые несколько чисел в этой последовательности такие:

1, 3, 9, 27, 81, 171, 243, 513..

Осенью этого учебного года мой научный руководитель, Максим Александрович Королёв, рассказал мне об этих числах и поставил задачу: доказать, что количество таких чисел, не превосходящих данного x велико. Сам он умел на тот момент доказывать оценку вида A*e^(c(loglog x)^2) и сказал, что если квадрат в показателе экспоненты удастся заменить на куб, то это будет успех. Через четыре дня после этого я доказал, что их хотя бы B*e^(e^(d(logloglog x)^2))) (кстати, если внимательно посмотреть на это выражение, то станет понятно, что это намного больше, чем меня просили), а потом улучшил и эту оценку тоже. Сейчас готовлю этот факт к публикации (а еще это мой диплом).

Из того, что хотелось бы доказать, я уже привел пример с суммами квадратов. А глобально — хотелось бы решить какую-нибудь из проблем Ландау или доказать гипотезу Римана, на меньшее я не согласен!

 

А что интересует вне математики?

 

Вне математики у меня увлечения, в основном, как у всех — музыка, кино, литература. Недавно, например, почувствовал себя очень глупым, потому что каким-то образом пропустил выход последнего альбома Pixies и только сейчас об этом узнал. Из нетривиального могу отметить просмотр турниров по Dota2. В саму игру я не играю, но просмотр профессиональных игр доставляет мне много удовольствия. По атмосфере сравнимо с футболом, но, как по мне, несколько интереснее. Недавно с моей девушкой ходили на крупный турнир, который проходил в Москве. Очень понравилось, впечатлений на год вперед.

 

Про планы на будущее. Где будешь учиться в магистратуре? Куда двигаешься по науке?

 

В магистратуре я остаюсь на матфаке ВШЭ — мне тут очень хорошо. Да и вообще, я думаю, останусь в России — у нас очень сильная аналитическая теория чисел и интересные люди.

По науке я, во-первых, продолжаю изучать теорию чисел в больших объемах, потому что надеюсь однажды достичь такого уровня, чтобы быть способным сразу понимать новейшие результаты, коих очень много. А во-вторых, меня фактически с детства, наряду с теорией чисел, интересовал анализ во всех его проявлениях, поэтому я стараюсь по мере возможностей изучать его и сейчас. Интересуюсь функциональным анализом (на матфаке в этом году появился очень интересный семинар по этому разделу), теорией вероятностей (без вероятностной интуиции в теории чисел сейчас никак: на каждом шагу сложные вероятностные гипотезы, вероятностные мотивировки, случайные характеры Дирихле и так далее) и многими другими разделами. Не могу сказать, что я так уж профессионален в этом, но у меня, как мне кажется, неплохая интуиция, а кроме того, всё это уже нашло или в будущем найдет свои применения в моей области.