Интервью Родиона Деева

Серебряный птенец 2016 года Родион Деев рассказал о семействах бубликов, геометрических структурах и пользе от смены обстановки.

— Родион, ты в этом году получил премию на конкурсе Мёбиуса и вышкинскую премию “Серебряный Птенец”. Если серебряного птенца, судя по формулировке, дают по совокупности заслуг и за целеустремленность, то премия Мебиуса полагается за доказанную теорему. Можешь расказать, чему посвящена работа, за которую тебе дали премию?

— Моя "теорема'', если можно так высказаться, специалистам была известна давно, но записать её никто не удосужился. Я не хочу этим сказать, что я не сделал совсем уж ничего нового: в математике довольно часто так бывает, что простые факты кажутся специалистам известными, но нередко, когда записываешь их доказательства, вскрываются непредвиденные тонкости. Порой некоторым специалистам кажутся известными и несложными противоречащие друг другу факты. В этом смысле каждое доказательство — рассеивание тумана в какой-то небольшой области, куда раньше солнечные лучи не особенно проникали. Мой опус касается поведения семейств простых гиперкэлеровых многообразий. В популярной литературе часто описывают многообразия как плёнки, сделанные из резины, которые выдерживают любые растяжения, но не рвутся. В этой аналогии геометрические структуры являются подобием некоторого каркаса на таких плёнках, жёсткого в той или иной степени. Например, любые два резиновые бублика можно перетянуть друг в дружку, но если запретить при этом менять углы между кривыми на этих бубликах, то у них появятся инварианты — более толстый бублик с меньшей дыркой нельзя перетянуть в более тонкий с большей дыркой, сохранив углы между кривыми. Соответственно, можно рассматривать семейства таких бубликов, структура на которых меняется в зависимости от некоторого количества параметров. Один из классических результатов алгебраической геометрии состоит, грубо говоря, в том, что все такие семейства бубликов можно свести к двухпараметрическим (точнее, однопараметрическим с одним комплексным параметром). Гиперкэлерово многообразие несколько сложнее себе представить, чем бублик, потому что они должны иметь размерность 4, 8 и так далее. Грубо говоря, мыслить о них можно следующим образом. Двумерную поверхность можно приблизить многогранником, грани которого — кусочки обычной евклидовой плоскости, на которой можно измерять углы. Одной из самых плодотворных идей геометрии является тот факт, что двумерную плоскость можно понимать алгебраически как множество комплексных чисел, и, соответственно, считать, что двумерные поверхности составлены из маленьких кусочков комплексных чисел. Гиперкэлеровы многообразия (ограничимся для простоты размерностью четыре) — грубо говоря, это такие, которые можно приблизить многогранниками, составленными из кусков пространства кватернионов. Гиперкэлеровы многообразия можно слегка деформировать гораздо большим количеством образов, чем бублики, однако оказывается, что если семейство гиперкэлеровых многообразий параметризованно какими-нибудь параметрами, которые принимают компактный набор значений (например, лежат на какой-нибудь ограниченной поверхности без края в пространстве произвольно большой размерности), то это семейство можно перестроить таким образом, чтобы исключить все эти параметры, кроме, быть может, двух. В этом и состоит моё продвижение.

— Что сейчас тебя занимает, в математике и\или вне ее, куда двигаешься?

— В науке меня больше всего поражает тот факт, что вещи, кажущиеся очевидными, никогда нельзя класть в основу теории — она просто не получится или получится бессмысленной. С другой стороны, изощрённый взгляд на вещи почти всегда вскрывает взаимосвязь предмета с другими идеями, на первый взгляд никак не связанными. Рассмотрим, например, робота на колёсиках, который ездит по плоскости. Помимо его координат на плоскости — широты и долготы — у него имеется ещё одна координата: азимут, вдоль которого смотрят его колёса. То есть можно думать, что он живёт в трёхмерном пространстве. При этом когда он едет куда-либо, отношение приращений его широты к его долготе пропорционально азимуту, то есть на возможное изменение этой тройки его координат имеется зависимость, он может ехать только в двумерном наборе направлений, тогда как пространство трёхмерное. При этом всем известно, кто хоть раз видал, как паркуют машину, что можно всегда так вырулить, чтобы машина оказалась в нужной точке и смотрела куда нужно. То есть хотя возможные направления для нашего робота и образуют плоскость, мы сможем сдвинуться вовне её, выруливая и как бы подымаясь по винтовой лестнице. Движение в этом перпендикулярном направлении будет более медленным: если бы мы разрешили измерять в трёхмерном пространстве расстояния только по возможным траекториям нашего робота, то множество точек, до которых можно добраться из нашего начального положения, за время не более чем t, выглядит при малых t как коробочка, у которой ширины по направлению плоскости допустимых направлений равны t (считая, что робот ездит с единичной скоростью), а по перпендикулярному направлению t^2. Таким образом, объём этой коробочки пропорционален t^4. С другой стороны, в трёхмерном пространстве объём шаров растёт в зависимости от радиуса как r^3, а в четырёхмерном — как r^4, точно так же, как в пространстве конфигураций робота. Выходит, что задача о том, как робот на колёсиках ездит по плоскости, связана с четырёхмерной геометрией. Вот что-то такое мне и кажется занятным. То есть я не хочу сказать, что мне нравится классическая механика, меня просто забавляют странные взаимодействия, например, механики и геометрии, или арифметики и топологии, или что-нибудь такое.

Конечно, написанное мною может показаться бредом, я и не претендую на то, что отсюда можно вынести ясный образ того, что происходит. Точно так же довольно бессмысленно описывать словами, почему красива какая-то конкретная музыка (хотя, скажем, Прусту эту задачу отчасти удавалось решить). Поэтому и этот вопрос из таких, которые смысла не лишены, а ответить на них всё равно нельзя. Что занимает людей в музыке? Каждого человека что-то своё, и всё-таки что именно, конкретно описать невозможно — иначе мы бы испытывали те же чувства и без музыки. Конечно, можно вести разговоры о "необъяснимой эффективности математики в естественных науках'', которой у музыки как бы нету, но та часть математики, которая привязана к естественным наукам, меня не очень занимает. С другой стороны, довольно понятно, что без внешней подпитки математика едва ли может существовать — во всяком случае, то, что нельзя заниматься математикой в башне из слоновой кости, не взаимодействуя по крайней мере с другими математиками — это хорошо известный экспериментальный факт, а какая там связь математики с физикой и биологией, я рассуждать некомпетентен. Человек, который музыкой профессионально не занимался, конечно, не может понять всех тех тонкостей, которые понимают специалисты. Потому же и в математике самообразование не позволяет продвинуться сколько-нибудь далёко — а специалисты не могут объяснить, в чём состоят тонкости.  По такому описанию это очень похоже на какую-то религию, если не сказать секту — и это, по-моему, довольно точное сравнение. Почему какие-то идеи в математике процветают, а какие-то оказываются тупиковыми? Наверное, потому же, почему некоторые Церкви распространены по всей Земле, а какие-то культы умирают вместе с их основателями. И, когда мысль движется вперёд, формальные конструкции, которые обосновывают её право двигаться таким путём, за ней не поспевают, и непонятно, то ли сейчас всё обрушится, то ли что-то да выйдет — и в этой неопределённости есть какая-то очень увлекающая меня красота, сравнимая с красотой того, как прозревает слепой машинист, ведущий паровоз на полном ходу.

— Расскажи куда поступил и как все происходило. Чем планируешь заниматься дальше?

— Я поступил в Нью-Йоркский университет. Это не самый пафосный университет, тем не менее, среди его выпускников было тоже немало достойных людей, например, Леди Гага и Шимон Перес. Сейчас там довольно сильный математический факультет, в котором работают, в числе прочих, абелевский лауреат Миша Громов, вебленовский лауреат Джефф Чигер, Фёдор Богомолов (работающий также на факультете математики Вышки), Юрий Чинкель и другие геометры. Также в Нью-Йоркском университете много специалистов по вероятностям и уравнениям в частных производных. Вообще, в Нью-Йоркском университете факультет математики идёт в тесной связи с факультетом компьютерных наук и Центром метеорологии и океанографии, которые вместе называются Курантовский институт математических наук (в честь своего основателя Рихарда Куранта, который известен широкой публике как один из авторов популярной книги "Что такое математика?''), поэтому там также хорошо представлена прикладная математика. Это обстоятельство имеет и печальные последствия: в отличие, скажем, от факультета математики в университете Коламбии, который находится в двадцати минутах езды на метро от Нью-Йоркского университета и в который может зайти кто угодно, на входе в Куранта строгий паспортный контроль — якобы потому что в том же здании стоят какие-то суперкомпьютеры. Наверное, правда стоят.

В Нью-Йоркский университет мне посоветовал подать документы мой научный руководитель Миша Вербицкий. Вообще процесс поступления происходит следующим образом. Сначала нужно сдать три экзамена: GRE Math, GRE General и TOEFL. Первый — тестовый экзамен по довольно нехитрой математике, похожий на часть Б в ЕГЭ по математике, но по университетскому курсу, и с очень большим количеством заданий — настолько, что времени честно решить его не хватает, и во многих случаях нужно прикидывать правильные ответы. GRE General — странный экзамен обо всём и ни о чём, половина вопросов в котором — элементарные задачи на школьную математику, другая половина — тест на понимание из контекста предложений, в которых непонятна значительная часть слов, и, кроме того, есть два эссе, рассчитанные на носителей английского языка и потому, вроде бы, не учитывающиеся при приёме иностранных студентов (хотя и сурово оценивающиеся). TOEFL — это обычный экзамен по английскому языку. Сдача всех этих экзаменов стоит довольно немалых денег. Я написал их сравнительно плохо (во многих университетах минимальный балл по TOEFL'у 100 из 120, в то время как я сдал его на 95). Кроме того, в университетах смотрят на академическую успеваемость, с которой у меня было скверно, особенно на первых двух курсах. Отчасти меня спасло то, что у меня имеется какая-никакая выложенная в интернет научная работа, а также хорошие рекомендации. 

Стеснённые большим количеством претендентов с одной стороны и отсутствием внятной информации о каждом из них с другой, университеты вынуждены учитывать то, что те или иные учёные могут сказать про каких-то из кандидатов неформально, так что правильным образом себя рекламировать (конечно же, не сильнее, чем нужно), взаимодействуя с другими математиками, очень полезно. К сожалению, это привносит в процесс поступления сильный элемент случайности, превращая его, с точки зрения поступающего, чуть ли не в лотерею. Я бы хотел писать диссертацию под руководством Джеффа Чигера — во-первых, его деятельность наиболее далека от алгебраической геометрии, которая широко представлена вообще в Москве, а на матфаке в особенности, во-вторых, он один из немногих нерусскоговорящих геометров в Куранте. В этом моём желании нет ни ненависти, ни презрения к алгебраической геометрии, да и никакой русофобии вообще: полезно менять окружающую среду, чтобы не очутиться в болоте.

Я люблю вспоминать легенду про то, как Понтрягин вычислил некоторые гомотопические группы сфер после эвакуации Академии Наук в Казань во время битвы под Москвой, которые ему долго не удавалось вычислить до этого. Но это позитивно сказывается не только на научной работе. Смена окружения освобождает в том числе и от претензий на знание; возможность честно делать то, что раньше было стыдно, например, из-за неусыпного взора окружающих, на мой вкус, дорогого стоит.