Зимняя математическая школа СПбГУ — ВШЭ

Санкт-Петербургский государственный университет и Высшая школа экономики объявляют о проведении традиционной зимней школы для студентов бакалавриатов. В программе 8 миникурсов по разным областям математики от преподавателей факультета математики и компьютерных наук СПбГУ и математических факультетов НИУ ВШЭ (Москва, Нижний Новгород). Школа ориентирована на студентов математических бакалавриатов России.

Мы приглашаем студентов старших курсов математических и смежных специальностей, а также выпускников программ бакалавриата, планирующих продолжить изучение теоретической математики. Участникам будут оплачены дорога и проживание. Количество мест ограничено, и мы заранее приносим извинения за то, что не сможем одобрить все поданные заявки.

Регистрация до 20 января на странице школы https://indico.eimi.ru/event/2050/

Лекторы и курсы:

Каждый лектор прочитает мини курс  в период проведения конференции.

Владимир Медведев, факультет математики, НИУ ВШЭ Москва
Название курса: Черные дыры, фотонные сферы и геометрия.
​​​​​​​
Речь пойдёт о статических решениях уравнений Эйнштейна, моделируемых как римановы многообразия с краем, где край интерпретируется как горизонт чёрной дыры или фотонная поверхность — изъясняясь научно-популярным языком, это гиперповерхность, вдоль которой световые лучи могут двигаться по замкнутым орбитам. Мы проанализируем геометрические и топологические свойства таких многообразий, уделяя особое внимание связи между их геометрией и топологией. Помимо этого, обсудим некоторые недавние результаты о жёсткости таких многообразий, а также их роль в понимании глобальной структуры чёрных дыр в рамках геометрического подхода к ОТО.

 

Александр Калмынин, факультет математики, НИУ ВШЭ Москва
Название курса: Группа Галуа случайного многочлена: гипотеза ван дер Вардена

Пусть f(x) — случайный многочлен степени n с целыми коэффициентами. Как устроена группа Галуа его поля разложения? Ясно, что с большой вероятностью она изоморфна группе перестановок S_n — группе Галуа многочлена общего положения, поскольку в других случаях должны возникать соотношения между коэффициентами. Впервые это утверждение доказано ван дер Варденом, он же сформулировал гипотезу: основной вклад во множество "исключительных" многочленов (группа Галуа которых меньше S_n) вносят не неприводимые многочлены со сложной симметрией, а приводимые многочлены. Например, многочлены с f(0)=0 уже составляют заметную долю исключительных. То есть, среди многочленов с группой Галуа, отличной от S_n, положительную долю составляют приводимые. Продвижения в направлении гипотезы ван дер Вардена требуют сочетания алгебраических соображений в духе теоремы Дедекинда и результатов Фурье-анализа типа неравенств большого решета. Мы поговорим о классических результатах в этой области, а также о недавнем полном решении гипотезы ван дер Вардена, полученном Бхаргавой.


Михаил Алфимов, факультет математики, НИУ ВШЭ Москва
Название курса: Поток Риччи в квантовой теории поля

В данном курсе мы обсудим понятие перенормировок в квантовой теории поля. А именно на примере специального типа таких теорий, называемых двумерными сигма-моделями, мы выведем уравнение ренормгруппового потока в лидирующем порядке теории возмущений - знаменитое уравнение потока Риччи. На лекциях будут приведены известные примеры решений такого уравнения и их связь с геометрией пространства полей.

Павел Осипов, факультет математики, НИУ ВШЭ Москва
Название курса: Гессианова геометрия

Плоским аффинным многообразием называется многообразие с атласом, функции переклейки которого аффинны. Гессиановым многообразием называется плоское аффинное многообразие с метрикой, локально являющейся гессианом функции.
Одной из главных мотиваций к изучению гессиановой геометрии является её близкая связь с информационной геометрией — наукой, изучающей семейства вероятностных распределений средствами дифференциальной геометрии.
Другой взгляд на гессианову геометрию происходит из её сходства с кэлеровой геометрией.  Кэлерова метрика локально является комплексным гессианом функции. Поэтому гессианова геометрия может рассматриваться как вещественный аналог кэлеровой геометрии.
Я расскажу, как гессианова геометрия происходит из информационной, о связи с кэлеровой геометрией и о том, что известно о классификации компактных и однородных гессиановым многообразий.

Дмитрий Косолобов, МКН СПбГУ, Санкт-Петербург
Название курса: Поиск в сжатых данных

Курс посвящён задаче поиска фрагментов в больших базах данных, представляющих собой сжимаемые неструктурированные последовательности байтов («поиск подстроки в строке»). Как быстро найти фрагмент из 100 символов в базе ДНК размера 100 Гб? Что если данные хорошо сжимаются zip архивом, но без сжатия не вмещаются в оперативную память? Будут разобраны базовые идеи в основе алгоритмов и структур данных, решающих подобные вопросы: суффиксные массивы, преобразование Барроуза—Уиллера, FM-индекс, r-индекс, индексы на основе грамматик.

Егор Воронецкий, МКН СПбГУ, Санкт-Петербург
Название курса: Композиционные алгебры

Композиционная алгебра — это конечномерная алгебра с единицей, на которой есть невырожденная квадратичная форма q, удовлетворяющая закону композиции q(x y) = q(x) q(y). Примерами являются алгебры кватернионов и октонионов над полем вещественных чисел. В курсе будет изложены структурная теория таких алгебр над полями, исключительные группы типа G_2, а также основные сведения про квадратичные формы.

Николай Осипов, МКН СПбГУ, Санкт-Петербург 
Название курса: О рациональности

Лектору, который занимался как такими областями теоретической математики, как математический анализ, гармонический анализ, вероятностные методы в анализе, так и прикладными вопросами, такими как разработка новых методов машинного обучения и применение их в медицине, не очень просто вспомнить задачу, которая бы не сводилась к сравнению между собой вероятностных распределений (вероятностных мер) относительно определенного отношения порядка. Дело в том, что любой метод лечения, любой метод диагностики, а также любая абстрактная функция, которую почти всегда можно интерпретировать как случайную величину, порождают вероятностную меру. При этом теория ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна, которая является основой математической теории игр и теории принятия решений, является мощным инструментом, который позволяет полностью описать все "хорошие" (рациональные) способы сравнивать между собой вероятностные распределения. Взгляд через призму этой теории как на вопросы машинного обучения, так и на вопросы абстрактного математического анализа, приводит к прорывным результатам и выявлению глубоких связей между совершенно разными разделами математики. Что касается машинного обучения, мы увидим как теория фон Неймана-Моргенштерна позволяет точно определить, где находится граница применимости машинного обучения, которая затем явно достигается с помощью современных методов глобальной стохастической оптимизации (роевые методы, генетические алгоритмы). Что касается абстрактного математического анализа, мы увидим как доказательство неравенств в анализе сводится к вопросам рационального (по фон Нейману-Моргенштерну) выбора стратегии в простой игре, в которой бюджет агента ведет себя как мартингал. В эту схему так или иначе вписываются, с одной стороны, большинство именных неравенств в анализе, а сдругой стороны - фундаментальные вопросы из области экономики и эффективных рынков. Одна из целей докладчика - показать, что на наличие рациональности в математических законах можно смотреть как на один из принципов естествознания, столь же фундаментальный, как "всякая функция в малом линейна" и т.п. (любой принцип естествознания, разумеется, не является точной теоремой).

Фёдор Петров, МКН СПбГУ, Санкт-Петербург
Название курса: Концентрация меры

Концентрация меры - явление в теории вероятностей, анализе и комбинаторике, состоящее в том, что при достаточно общих и не слишком обременительных ограничениях значение функции большого числа переменных почти постоянно. Классический пример: почти вся поверхность многомерной сферы сосредоточена вблизи экватора. В 1970-е Виталий Мильман нашел применение этого факта в локальной геометрии банаховых пространств, предъявив новое доказательство знаменитой теоремы Дворецкого (исходно - гипотезы Гротендика): любое центрально-симметричное выпуклое тело достаточно большой размерности имеет почти круглое центральное сечение заданной размерности. С тех пор идея концентрации меры нашла множество ярких и эффектных приложений, некоторые из которых я хотел бы осветить в курсе.