Зимняя студенческая школа по математике и теоретической информатике

Школа проводится совместно СПбГУ и НИУ ВШЭ. Цель школы: осветить различные направления современной математики и теоретической информатики. Мы приглашаем студентов старших курсов математических и смежных специальностей, а также выпускников программ бакалавриата, планирующих продолжить изучение теоретической математики.

Когда: 29 января – 1 февраля 2020 г.
Где: факультет математики и компьютерных наук СПбГУ, Санкт-Петербург, 14-я линия В.О., д. 29.

Регистрация на сайте СПбГУ math-cs.spbu.ru/wsch2020. Участникам будут оплачены дорога и проживание. Количество мест ограничено, и мы заранее приносим извинения за то, что не сможем одобрить все поданные заявки.

По любым вопросам проведения школы обращайтесь к Алине Анатольевне Загороднюк – chebyshev.msc@gmail.com.

Список миникурсов:

1. Ю.С. Белов, СПбГУ – Анализ сигналов

Предположим, что функция (сигнал) имеет ограниченный спектр, т.е. преобразование Фурье имеет компактный носитель. Тогда согласно знаменитой теореме отсчетов Шеннона-Котельникова-Уиттекера ее можно полностью восстановить по значениям в некоторой арифметической прогрессии. При этом норма L^2 функции (энергия сигнала) контролируется l^2 нормой значений. Такие множества называются множествами сэмплинга.

Мы обсудим множества сэмплинга для различных классов сигналов (функций), а также способы восстановления функции по ее значениям в дискретном множестве. Особый интерес представляет случай когда спектр неограничен, но имеет конечную меру.

2. В.А. Гриценко, Университет Лилля, НИУ ВШЭ – Решетки Нимейера и автоморфные формы

Существует всего одна четная унимодулярная положительно определенная решетка ранга 8 — решетка E_8. В размерности 16 их уже две: 2Е_8 и D_{16}^+. В размерности 24 можно построить ровно 24 четных унимодулярных решетки. Этот факт былустановленнемецким математиком Niemeier’ом в 1973 году. В 1979 году замечательный петербургский математик Борис Борисович Венков предложил элегантное автоморфное доказательство результата Нимейера, которое сильно повлияло на дальнейшее развитие теории квадратичных форм.

В первой части курса мы разберем конструкции решеток Нимейера, используя технику корневых решеток A_n и D_n (хорошо известных из теории алгебр Ли) вместе с теорией конечных квадратичных дискриминантных форм. Единственная бескорневая унимодулярная решетка ранга 24, решетка Лича, является одним из самых интересных комбинаторных и геометрических объектов современной математики. С ней связаны простые группы Матьё и Конвея, коды Голея, системы Штайнера, наиплотнейшая упаковка шарами 24-x мерного евклидова пространства (2016), функция Борчердса Ф_{24}, Fake Monster Lie Algebra, ….

Во второй части курса мы дадим краткое введение в теорию модулярных форм и форм Якоби от многих переменных в контексте теории целочисленных квадратичных форм.

Заключительным примером будет автоморфное произведение Борчердса Ф_{24}, объединяющее все решетки Нимейера в рамках «простейшей» автоморфной функции от 26 переменных. Это будет приглашением в теорию аффинных и лоренцевых алгебр Каца-Муди.

3. А.В. Дымов, МИАН, НИУ ВШЭ – Марковские стохастические системы и перемешивание

Рассмотрим какую-нибудь физическую систему, динамика в которой описывается системой дифференциальных уравнений. Например, это может быть система твердых тел, подверженных действию каких-нибудь сил, или, скажем, озеро – в этом случае вместо обыкновенных дифференциальных уравнений возникают дифференциальные уравнения с частными производными. Часто оказывается разумным (или даже необходимым) добавить в систему случайное возмущение, например, чтобы смоделировать действие на систему сил, неучтенных моделью, которые учесть другим образом оказывается невозможным или слишком сложным. В примере с озером это может быть слабый ветер, порывами действующий на поверхность озера. Получающиеся уравнения называются стохастическими дифференциальным уравнениями (СДУ). Они играют центральную роль в различных областях, от метеорологии и до финансовой математики.

СДУ обладают важными особенностями, не присущими детерминистским системам. Так, при разумных условиях часто оказывается, что система стремится к равновесному состоянию, которое не зависит от начального состояния системы. Другими словами, при времени, стремящемся к бесконечности, распределение решения сходится к единственной стационарной мере – этот эффект называется перемешиванием. Основная цель данного курса — обсудить математику, связанную с этим эффектом.

 

4. М.Э.Казарян, ВШЭ -- ТВА

5. Н.С. Калинин, СПбГУ – Песочная модель

Песочная модель представляет собой связный граф, в вершинах которого лежат песчинки. Как только число песчинок в вершине v становится больше или равно числу рёбер, выходящих из v, эта вершина отдаёт каждой из соседних вершин по одной песчинке, такая операция называется обвалом. Хотя бы одна вершина в графе объявляется стоком: там мы обвалов не делаем, можно считать, что все песчинки, туда попадающие, исчезают из системы. Несложно показать, что из любой начальной конфигурации песчинок в вершинах операциями обвалов можно прийти к стабильной конфигурации — где обвалов сделать более нельзя — и что эта финальная конфигурация определена однозначно.

Песочная модель была придумана несколько раз в разных контекстах и таит множество открытых вопросов с красивыми картинками.

6. А.С. Куликов, СПбГУ, ПОМИ – Задача выполнимости: теория и практика

Мы познакомимся с задачей выполнимости — одной из самых важных трудно решаемых задач. Разберём основные методы решения задачи выполнимости (как в теории, так и на практике): метод расщепления, локальный поиск, случайные блуждания. Узнаем, как эта задача связана с другими известными вычислительными задачами: например, ускорить классический квадратичный по времени алгоритм для расстояния редактирования не проще, чем ускорить полный перебор для задачи выполнимости. Наконец, увидим, насколько эффективны SAT-солверы (задачи для решения задачи выполнимости) на практике: вместе решим несколько сложных комбинаторных задач при помощи таких программ.