Наука

В докладе рассказано про локальные алгебры, примыкания особенностей типа A_k, изоморфизм Кодаиры–Спенсера и канонические координаты. В случае особенности A_2 мы напишем явные формулы канонических координат. Основной целью доклада является изучение структуры пространства развёртки, включая связь между каустикой и дискриминантом особенности. Особый интерес представляет операция умножения в касательном пространстве к бифуркационной диаграмме. В частности, сформулирована гипотеза о замкнутости относительно этого умножения.

В докладе рассказано о перекладываниях отрезков (IET) и их обобщении - перекладываниях с флипами (FIET). Рассмотрены эргодические свойства этих объектов и причины, по которым классические результаты для IET не переносятся на случай FIET, что создает трудности в их изучении.

Когда Мамфорд занимался группами Пикара пространств модулей, он доказал, что расслоение голоморфных форм объёма на пространстве модулей $M_g$ римановых поверхностей рода $g$ изоморфно 13-й степени расслоения Ходжа $\Lambda$ для любого g > 1. Эквивалентно, на $M_g$ есть не имеющая нулей голоморфная форма объёма со значениями в $\Lambda^{13}$ - форма Мамфорда. Впоследствии Белавин и Книжник установили, что "квадрат модуля" формы Мамфорда совпадает с точностью до постоянного множителя с мерой Полякова - вещественной формой объёма на пространстве модулей, возникающей (совершенно независимо от результатов Мамфорда) при вычислении амплитуд рассеяния в теории струн. Для g = 1 это верно с некоторой модификацией. У всего этого есть суперсимметричный аналог, который получается, если рассматривать суперримановы поверхности вместо римановых и суперструны вместо струн.
Для римановых поверхностей рода g = 1, 2 или 3 элементы матрицы периодов являются независимыми координатами на пространстве модулей. Явное выражение для формы Мамфорда через эти координаты известно во всех 3 случаях g = 1, 2 и 3, а для суперформы Мамфорда -- только для g = 1 и 2 (для g = 3 не было известно никакого явного выражения ни через что). В новой статье https://arxiv.org/abs/2505.02950 получено аналогичное выражение для "старшей компоненты" суперформы Мамфорда для рода 3, отчасти гипотетическое. А именно, доказывается, что она является некоторой линейной комбинацией трех явно известных выражений (являющихся рациональными комбинациями тэта-констант Римана и тэта-градиентов), но значения коэффициентов пока получены только с помощью компьютерных экспериментов и требуют доказательства.