Наука

Международная лаборатория кластерной геометрии объявляет дополнительный набор студентов и аспирантов НИУ ВШЭ  на должность стажера-исследователя.
Участниками конкурса могут быть студенты бакалавриата и магистратуры и аспиранты факультета математики НИУ ВШЭ, имеющие этот статус на 1 января 2025 года, которым интересны разрабатываемые в лаборатории  https://math.hse.ru/cg  темы.

С комбинаторной точки зрения, электрическая сеть — это граф с положительными весами на рёбрах, представляющими проводимости. Вершины сети разделены на два множества: внутренние и граничные узлы. Задавая потенциалы на граничных узлах и применяя законы Ома и Кирхгофа, мы однозначно определяем гармоническое продолжение потенциалов на все остальные вершины сети. Изучение свойств этих гармонических продолжений естественным образом привело к определению матриц электрического отклика и матриц эффективных сопротивлений, элементы которых тесно связаны с комбинаторикой остовных деревьев и рощ графа сети. Это позволило, используя обобщенный трюк Темперли, построить вложение множества электрических сетей в положительную часть Грассманиана Gr(n-1, 2n). Мы подробно обсудим это вложение: построим его явную конструкцию с использованием матриц отклика (матриц эффективных сопротивлений) и рассмотрим их связь с положительной математикой и, если останется время, с метрической геометрией.

Odd cactus is a hypergraph such that every hyperedge has odd valency. Two weeks ago Pavel Chicherov represented the pfaffian matrix-tree theorem. We will discuss the generalisation of this theorem which expresses the generating function of odd cactuses via hyperpfaffian. Then we will prove the theorem, using properties of exterior algebra

We will discuss a number of constructions that give connections between combinatorics and topology. For example, we will discuss why any poset is a topological space (Alexandrov topological space, to be precise) and vise versa; what is a diagram on a poset; I will introduce the notion of inflation of a diagram along a poset and formulate a theorem on the topological type of geometric realizations of inflations of some special kind; if time permits, I will give solution to the theorem.All these constructions allow to investigate topological properties of finite topological spaces. The talk does not require any special knowledge and can be understood by the first year students. At the same time, the discussed objects can be interesting for those who possess the concepts of the category theory and sheaves theory, since this is a more natural language for all discussed constructions