Аннотации миникурсов зимней студенческой школы СПбГУ и НИУ ВШЭ по математике и теоретической информатике 2023

Автоморфизмы алгебраических многообразий
 К.А. Шрамов (НИУ ВШЭ)  

Я расскажу про свойства конечных групп, действующих на алгебраических многообразиях. Особенно интересна ситуация, когда для данного многообразия или семейства многообразий можно доказать ограниченность какого-нибудь параметра для конечных подгрупп в группах автоморфизмов: например, порядков таких подгрупп, или каким-то образом определённую сложность. Мы обсудим несколько ситуаций, когда это удаётся проделать. В частности, я расскажу про свойство Жордана для групп автоморфизмов и бирациональных автоморфизмов рациональных поверхностей, а также про ограниченность конечных групп, действующих на неунилинейчатых многообразиях с нулевой иррегулярностью.

---

 

Геометрия стохастических потоков 
А.С. Ильин (НИУ ВШЭ)

Главный объект, который мы будем изучать в этом миникурсе, это гладкий стохастический поток. Своеобразным геометрическим «окном» в сложную динамику таких потоков является картина эволюции линий и, в более общем случае, k-мерных гиперповерхностей, увлекаемых потоком. Динамика растяжений и складок таких гиперповерхностей играет важную роль во многих физических процессах: от турбулентного перемешивания в атмосфере и океане, до генерации магнитного поля в галактических кластерах.
В процессе стохастического перемешивания элементы k- мерных площадей в среднем испытывают экспоненциальный рост. В то же время, за пределами корреляционного масштаба потока расстояние между точками поверхности растет как при обычной диффузии ~ t^1/2. Таким образом, гиперповерхности со временем всюду плотно и без самопересечений заполняют потоки: 

см. приложенные картинки (DOCX, 261 Кб) .

Из-за мультипликативности процесса стохастического перемешивания, определяющую роль в эволюции моментов поверхностной плотности играют экспоненциально редкие события, когда элементы площади не растут, а убывают (своеобразные «черные дыры»). Такое явление называется «перемежаемостью».
Что бы решить весь этот захватывающий круг задач, мы будем изучать случайную эволюцию Картановских форм, учиться решать стохастические дифференциальные уравнения с мультипликативным шумом, обсуждать случайную T-экспоненту, континуальные произведения случайных матриц, «теорию больших уклонений» и другие интересные вещи.

---

Теория Морса, гладкая и дискретная
Г.Ю. Панина (СПбГУ)

---

Классическая гладкая теория Морса (и её более современный дискретный аналог)  -- мощный инструмент, позволяющий изучать многообразия и комплексы, вычислять их топологические характеристики. Мы научимся этим инструментом пользоваться, и в том числе,  дойдем до вычисления  морсовых гомологий - гладких и  дискретных.

---

Объемы многонраников и тропическая геометрия 
В.А. Тиморин (НИУ ВШЭ)

Мы начнем с вопроса о том, как вычислять объемы многомерных выпуклых многогранников. В частности, выясняется, что объем зависит от многогранника полиномиально, и имеет смысл находить коэффициенты соответствующего многочлена. Поиск коэффициентов многочлена объема (так называемых смешанных объемов) естественным образом приводит к задачам тропической геометрии. Вообще-то тропическая геометрия служит для того, чтобы комбинаторным способом решать задачи перечислительной алгебраической геометрии (например, подсчитывать число решений у определенных систем алгебраических уравнений). Это популярная тема, мы можем ее коснуться, но основной сюжет будет развиваться от выпуклой геометрии к тропической. Идея такого изложения принадлежит А.Г. Хованскому, а по дороге встретятся результаты многих авторов, начиная с Г. Минковского и А.Д. Александрова, и заканчивая современниками.

---

Хаос и порядок в динамических системах
Ю.С. Ильяшенко (НИУ ВШЭ)

---

Динамические системы на плоскости - это царство порядка. Оно исчерпывающим образом изучено и описано. Например, предельное поведение типичной динамической системы с конечным числом положений равновесия может быть только таким: либо стационарным, либо периодическим. Напротив, предельное поведение многомерной динамической системы (много - это три и больше) может быть очень сложным. Многомерные динамические системы - это царство хаоса. Об этих двух царствах и будет рассказано в четырёх лекциях.

---

Комбинаторика кососимметрической двойственности Хау
О.В. Постнова (СПбГУ)

Вторая часть серии лекций будет посвящена нахождению предельных форм диаграмм Юнга, возникающих вкососимметрической двойственности Хау.На парах диаграмм можно ввести вероятностную меру, как отношение произведения размерностей представлений в паре к размерности внешней алгебры. Типичная (относительно этой меры)диаграмма Юнга в пределе бесконечного ранга группимеет форму, близкую к некоторой фиксированной. Оказывается, что предельные формы для SO2n +1 и Sp2n, представляют собой "половинки" предельный формы для GL2n+1, что и будет показано на лекциях.

---

 

Асимптотики и универсальные свойства ортогональных многочленов
Р.В. Бессонов (СПбГУ)

Курс посвящен введению в теорию ортогональных многочленов на единичной окружности. Ортогональные многочлены - классический объект, возникающий в теории аппроксимации, стационарных процессах, спектральной теории, математической физике. Мы начнем с основ и получим несколько ключевых результатов теории, одной из особенностей которой являются краткость и внешняя простота доказательств. Цель миникурса - дать общее представление о свойствах ортогональных многочленов и продемонстрировать некоторые идеи, появившиеся в последние 30 лет из ее более почти 200-летней истории.

Модели обратимых вычислений
А.С. Охотин (СПбГУ)

Вычислительное устройство называется обратимым, если по его текущему состоянию можно однозначно восстановить состояние в предыдущий момент времени. Это понятие имеет практический смысл: известно, что логически необратимое стирание одного бита информации влечёт за собой выделение kT\ln 2 Дж энергии, где T — температура, а k — постоянная Больцмана; обратимые устройства потенциально могут не выделять энергии. В предлагаемых лекциях сперва будет дано краткое введение в обратимое программирование, после чего будет рассказано о математических моделях обратимых вычислений — об обратимых конечных автоматах, об обратимых автоматах, обходящих графы, и о сложности обратимых алгоритмов