Зимняя Студенческая Школа "Симметрия и сложность в математике" 1 – 6 февраля 2019 года

Школа проводится совместно НИУ ВШЭ и СПбГУ в рамках сотрудничества в области математики. Цель школы: осветить направления современной теоретической математики, посвященные изучению симметрии и сложности в широком смысле. Мы приглашаем студентов старших курсов математических и смежных специальностей, а также выпускников программ бакалавриата, планирующих продолжить изучение фундаментальной математики.  

Когда: 1 – 6 февраля 2019 
Где: факультет математики НИУ ВШЭ, Москва, ул. Усачева д. 6.

Расписание зимней школы                                                Список участников школы

Cписок мини-курсов: 

• Ю.С.Белов (СПбГУ). Частотно-временной анализ.
  Частотно-временной анализ - один из современных разделов гармонического анализа, который занимается изучением сдвигов и модуляций в пространствах функций и операторов. Первые результаты появились в 30-х годах вместе с бурным развитием квантовой механики и связаны с именами Вейла, Вигнера и Неймана. В последние 20 лет интерес к этому разделу анализа возродился вновь в связи с богатыми приложениями в теории информации и анализе сигналов. Другая причина возрождения интереса - интенсивное развитие теории всплесков (wavelet theory), которая "похожа" на частотно-временной анализ.
  
  Курс лекций нацелен на изучение частотно-временного анализа с нуля и до современных результатов, относящихся к Габор фреймам и пространствам модуляций.
  Желательно минимальное знакомство слушателей с основами анализа.
• Н.А.Вавилов (СПбГУ). Октонионная математика.
  Как известно, Арнольд разделял всю математику на три части ("небесную механику, гидродинамику и криптографию") --- вещественную, комплексную и кватернионную. Например, на языке классических групп это выражается как серии ортогональных, унитарных и симплектических групп. Однако, как заметил Роман Михайлов, "уважаемый В.И. несколько заблуждался в данном вопросе. Да что там несколько, не несколько, а целиком. Вся математика делится не на три, а на четыре части." Не упомянутая Арнольдом октонионная математика по крайней мере столь же важна --- и, в любом случае обладает гораздо более изысканной симметрией.
  
  В курсе предлагается рассказать об иерархии объектов, существование которых связано с октонионами, начиная от маленьких конечных простых групп и отвечающих им геометрических объектов, до исключительных алгебр, симметрических пространств, большого монстра и т.д. В основной части предполагается рассказать конструкции исключительных алгебр и групп типа Ли в терминах алгебр, форм, комбинаторных геометрий и специальных проективных многообразий, как классические, так и некоторые совсем недавние.
• В.А.Васильев (НИУ ВШЭ). Буриданова сложность и дискриминанты.
  Буриданова сложность вычислительной проблемы возникает из-за необходимости выбирать одно из возможных равноценных решений – например, в условиях симметрии. В терминах алгоритмов эта сложность выражается в необходимости участия какого-то числа операторов условного перехода в любом алгоритме, решающем данную задачу. Эта проблема вряд ли возникнет при решении одной отдельной задачи, но может с необходимостью возникнуть при решении семейства задач, зависящих от параметра: например, при выписывании алгоритма, находящего корень любого полиномиального уравнения (параметром в этом случае являются коэффициенты уравнения). Простейшим примером является невозможность задать достаточно хорошее приближенное решение комплексного уравнения X2 = A непрерывной функцией от A, или же решение вещественного уравнения X3+ AX + B =0 – непрерывной функцией от вещественных параметров A и B. Размеры этой неприятности, в частности необходимое числа разрывов в общем решении полиномиального уравнения или системы уравнений, оценивается в терминах геометрии и топологии соответствующего дискриминантного множества, то есть множества полиномов, имеющих совпадающие корни. (Про это множество, имеющее и много других важных приложений, будет рассказано подробно). В этой задаче много легко формулируемых, но нерешенных вопросов.
• Э.А.Гирш(СПбГУ). Сложность доказательств. Slides
  Все ли теоремы имеют короткие доказательства? Например, чтобы  доказать, что система полиномиальных уравнений имеет решения в {0,1},  достаточно предъявить её решение. А что можно предъявить, чтобы  доказать, что она НЕсовместна? В этом конкретном случае можно применить теорему  Гильберта о нулях (но полиномы, на которые придётся домножать,  могут оказаться очень сложными).Что можно и чего нельзя сделать в общем случае? Вопрос этот открыт даже в "простом" случае логики высказываний (в которой  есть только логические переменные и связки), где он эквивалентен  равенству сложностных классов NP и co-NP, и интенсивно изучается со  времён работы С.А.Кука и Р.А.Рекхау (1979), которые ввели  формальное понятие системы пропозициональных доказательств: система доказательств --- это простой (полиномиальный по времени) алгоритм,  который проверяет доказательства: принимает корректные  доказательства верных утверждений и не принимает доказательств неверных. Хотя в общем случае вопрос не разрешён, экспоненциальные нижние оценки  известны для ряда конкретных систем доказательств. "Программа Кука" по  изучению сложности доказательств состоит в получении новых  экспоненциальных нижних оценок для всё более мощных систем  доказательств.  Концепции и методы, применяемые в этой науке, относятся к  разнообразным областям математики. Например, есть системы  доказательств, основанные на геометрических принципах или на  доказательстве пустоты полуалгебраического множества.  В этом вводном мини-курсе будет сформулировано несколько систем  доказательств и показано несколько нижних оценок. Мы поговорим также о  связи с общим вопросом NP vs co-NP и о существовании "proofs from the  book" -- системы, в которой доказательства самые короткие.
• А.Л.Городенцев (НИУ ВШЭ). Исключительные базисы и диофантовы приближения.
  
• С.Л.Кузнецов (НИУ ВШЭ). Субструктурные логики - от алгебры до лингвистики.  Слайды 
  

  Субструктурными логиками называются логические системы, в которых отсутствуют все или некоторые правила, допустимые в классической логике. Например, правило сокращения (А -> A и A) становится недопустимым, если мы понимаем A как некоторый ресурс, который расходуется при его использовании: в этой ситуации может быть верно A -> B, A -> C, но не A -> (B и С). Другое правило - ослабление (A -> (B -> A)) некорректно для так называемых релевантных логик (если мы хотим, чтобы посылки импликации имели содержательное отношение к заключению, и не признаём правильными рассуждения вида "Если 2x2=5, то Волга впадает в Каспийское море"). Наконец, рассматриваются некоммутативные логические системы (где "A и B" - не то же самое, что "B и A"). В курсе будет рассказано о разных субструктурных системах, их алгебраической семантике и применении в исследованиях естественного языка.

• Г.И.Ольшанский (НИУ ВШЭ). Детерминантные меры.
  В курсе анализа учат строгому построению меры Лебега на конечномерном векторном пространстве. Но в математике есть масса примеров пространств с мерами другого сорта. В частности, в математической физике важны пространства бесконечных конфигураций точечных частиц (для наглядности можно представить себе молекулы газа в бесконечном объеме). Всякая вероятностная мера на  пространстве конфигураций порождает случайный ансамбль частиц. Детерминантные меры, о которых пойдет речь в миникурсе,  описывают широкий класс случайных систем частиц, для которых удается много чего точно посчитать. Я постараюсь дать представление об этой области исследований: немного общей теории; конкретные примеры из разных областей математики и связанные с ними результаты; нерешенные вопросы. Если Вы знакомы с понятиями "сигма-алгебра множеств", "вероятностная мера", "гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций", "операторы в гильбертовом пространстве", то проблем с пониманием быть не должно.
• Ф.В.Петров (СПбГУ). Концентрация меры.
  Концентрация меры - явление в теории вероятностей, анализе и комбинаторике, состоящее в том, что при достаточно общих и не слишком обременительных ограничениях значение функции большого числа переменных почти постоянно. Классический пример: почти вся поверхность многомерной сферы сосредоточена вблизи экватора. В 1970-е Виталий Мильман нашел применение этого факта в локальной геометрии банаховых пространств, предъявив новое доказательство знаменитой теоремы Дворецкого (исходно - гипотезы Гротендика): любое центрально-симметричное выпуклое тело достаточно большой размерности имеет почти круглое центральное сечение заданной размерности. С тех пор идея концентрации меры нашла множество ярких и эффектных приложений, некоторые из которых мы собираемся обсудить.
  
  Желательно минимальное знакомство слушателей с основами анализа и теории вероятностей.

По вопросам проведения школы можно обращаться к Дымову Андрею Викторовичу.