Подготовка

Эта страница называется “Подготовка”. Но речь не про подготовку к поступлению на наш факультет, т.е. не про ЕГЭ и олимпиады. Речь идет о теме, которая освещена в Сети гораздо хуже — о подготовке к обучению на нашем факультете (или, более широко, на любой программе высшего образования по специальности Фундаментальная математика).

Эту тему делает актуальной существование "ничейной земли" между школьной и университетской программами — круга вопросов, которым во многих школах уделяют недостаточное, на наш взгляд, внимание, и на которых нет возможности надолго задержаться на первом курсе.

Приведенный ниже перечень тем очерчивает эту “ничейную землю”. Если Вы заранее разберете незнакомые Вам темы из этого списка по предложенной литературе, то обеспечите себе намного более успешное и комфортное начало обучения на нашем факультете (равно как и на любом другом, где предполагается серьезная математическая подготовка).

Более того, знакомство со многими из предложенных тем может оказаться полезным уже для участия в математических олимпиадах старших классов. По большей части эти темы не предполагают знания материала 10-11 классов, поэтому приступить к их изучению стоит уже в 9 классе или даже раньше — так же, как делают на курсах “спецматематики” или “математического анализа” в ведущих математических школах. Типичное начало такого курса представлено, например, в следующей книге (она будет полезна также при работе над темами 1-6 нашего списка):

Т. И. Голенищева–Кутузова, А. Д. Казанцев, Ю. Г. Кудряшов, А. А. Кустарёв, Г. А. Мерзон, И. В. Ященко. Элементы математики в задачах (с решениями и комментариями). Части I и II, М., МЦНМО, 2010

Хорошо приспособлена для самостоятельной работы книга  М. Вялый, В. Подольский, А. Рубцов, Д. Шварц, А. Шень "Лекции по дискретной математике", в которой части 1 и 2 посвящены тем же разделам.

Хорошие подборки задач по этим разделам можно найти в других опубликованных курсах московских школ 57  и 179, а также в задачнике  А.А.Заславский, А.Б.Скопенков, М.Б.Скопенков "Элементы математики в задачах".

Тем, кому удобен формат видеолекций, рекомендуем онлайн-курс В.А.Кириченко "Основания алгебры и геометрии" (запись в осеннем семестре открыта до 15 сентября!)

Видеолекции также содержатся в материалах летней школы "Матфак: предисловие", которая ежегодно проводится на факультете в конце августа для поступивших на факультет.

Темы нашего перечня перечислены в порядке, в котором их наиболее естественно изучать. Правда, некоторые из них указаны в скобках (курсивом) — они в наименьшей степени могут считаться первоочередными для школьного математического образования, и потому их можно оставить “на десерт”.

Если книга в списке литературы идёт под номером (0) — это идеальный текст для первого знакомства с предметом и, в частности, его просто очень интересно читать. Знакомство с этими книгами можно считать обязательным для каждого, кто любит математику.

Помимо конкретных книг, в качестве главного общего источника информации мы рекомендуем сайт Московского Центра Непрерывного Математического Образования — его миссия состоит как раз в преодолении зазора между “школьной” и “высшей” математикой. На его страницу свободно распространяемых изданий ведет большая часть ссылок в нашем списке.

Помимо приведенного ниже базового списка тем, у нас на сайте можно ознакомиться с перечнем книг “на вырост”, а на сайте Независимого Московского Университета — с существенно более амбициозной программой “Матшкольник”. Конечно, мы ни в коем случае не ожидаем от наших абитуриентов знакомства с перечисленными там книгами и темами.

1. Множества, практика доказательства их равенства, отображения множеств и их композиции

(0) Н.Я. Виленкин. Рассказы о множествах, 4-е изд., М., МЦНМО, 2007

(1) Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. 4-е изд., доп., М: МЦНМО, 2012 [глава 1]

2. Логические операции, кванторы, построение отрицаний

(0) В.А.Успенский, Простейшие примеры математических доказательств, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 34, МЦНМО, 2012 (эту же книгу можно отнести и к ссылкам по теме 3)

(1) Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012 [главы 1-3]

3. Математический уровень строгости, неопределимые понятия и определения, аксиомы и доказательства, (аксиомы Пеано натуральных чисел)

(0) А. Шень. О «математической строгости» и школьном курсе математики, М.: МЦНМО, 2006

(1) И.В. Арнольд. Теоретическая арифметика, М., Учпедгиз, 1938 [глава 2: аксиомы Пеано]

4. Индукция, комбинаторика -- числа сочетаний и перестановок, бином Ньютона

(1) Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? М., МЦНМО, 2013 [раздел 1.2.6]

(2) А. Шень. Математическая индукция, 3-е изд., М., МЦНМО, 2007

(3) Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, П. А. Виленкин, Комбинаторика, М., МЦНМО, 2006 [главы 1 и 2]

5. Делимость, разложение на простые, деление с остатком чисел и многочленов, НОД, алгоритм Евклида, арифметика вычетов

(1) Л. А. Калужин. Основная теорема арифметики, М., «Наука», 1969 г

(2) Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? М., МЦНМО, 2013 [разделы 1 и 4 дополнения к главе 1 (раздел 2 дополнения к главе 1)]

(3) Подборка статей журнала “Квант” про арифметику вычетов.

6. Рациональные числа, отношения и классы эквивалентности, вещественные числа, (точная нижняя/верхняя грань)

(1) М.М. Глухов. Отношения эквивалентности и разбиения множеств, Квант, 1972, №2, стр. 2-9

(2) Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? М., МЦНМО, 2013 [раздел 2.2 (2.2.6)]

7. Комплексные числа, их тригонометрическая форма

(1) Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? М., МЦНМО, 2013 [раздел 5.5.1-5.5.3]

(2) В.И. Арнольд. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, М., МЦНМО, 2002 [раздел “Комплексные числа”]

(3) Я.П.Понарин.  Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах,  М., МЦНМО, 2004.

8. Векторы на плоскости и в пространстве, суммы и кратные векторов в координатах, преобразования евклидовой плоскости и пространства, их композиции

(1) Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия, "Наука" 1990 [части 1-3]

(2) Подборки статей журнала “Квант” на темы “векторы” и “преобразования”.

(3) Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1: Основы алгебры, МЦНМО, 2012 (Издание 2-е, стереотипное) [главы 1-3]

(4) И.М.Гельфанд. Линейная алгебра, М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. Издание пятое, исправленное [разделы 1.1, 1.2, 1.9]

---