Теория чисел

Преподаватель доц. А.И. Зыкин

Программа курса

1. Введение. Немного о диофантовых уравнениях (теорема Ферма, конгруэнтные числа и эллиптические кривые)
2. Теория Галуа и конечные поля. Основные факты из теории Галуа. Структура конечных полей. Уравнения над конечными полями. Квадратичный закон взаимности.
3. p-адические числа. Сравнения и p-адические числа. Лемма Гензеля. Теорема Островского.
4. Квадратичные формы. Представление чисел квадратичными формами над Q_p и над Q. Теорема Минковского–Хассе.
5. Десятая проблема Гильберта. Разрешимость, перечислимость, диофантовость. Рекурсивные функции. Доказательство Матиясевича.
6. Поля алгебраических чисел. Разложение на простые идеалы, ветвление, дискриминант, число классов идеалов.
7. Эллиптические кривые. Базовые свойства. Теорема Морделла–Вейля.
8. Дзета-функции. Распределение простых чисел и дзета-функция Римана. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда и формула для вычета.

Литература.

1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. «Теория чисел». - М.: Наука, 1985.
2. Кнапп Э. «Эллиптические кривые». - М.: Факториал Пресс, 2004.
3. Коблиц Н. « p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции». - М.: Мир, 1982.
4. Ленг С. «Алгебра». - М.: Мир, 1968.
5. Ленг С. «Алгебраические числа». - М.: Мир, 1972.
6. Манин Ю. И., Панчишкин А. А. «Введение в современную теорию чисел». - М.: МЦНМО, 2009.
7. Матиясевич Ю. В. «Десятая проблема Гильберта». - М.: Наука, 1993.
8. Серр Ж.-П. «Курс арифметики». - М.: Мир, 1972.

Задачи к курсу

К сожалению, к курсу не предусмотрены семинарские занятия, соответственно, не предполагается обязательной сдачи листков с задачами. Тем не менее, задачи могут быть полезными, во-первых, для освоения материала лекций, во-вторых, для освещения дополнительных сюжетов, на которые на лекциях не хватило времени и, в-третьих, для подготовки к экзамену. В случае возникновения затруднений, непонимания или просто желания обсудить ту или иную задачу, обращение к лектору всячески приветствуется.

1. Листок 1. Расширения полей. Конечные поля

2. Листок 2. Теория Галуа

3. Листок 3. Нормирование и р-адические числа

4. Листок 4 Квадратичные формы

5. Листок 5 Кольца целых и разложение на простые множители

Материалы к курсу

• http://www.poiskknig.ru/, http://gigapedia.com/ - сайты, где можно найти электронные версии книг, перечисленных в списке литературы.
• Сайт с лекциями James Milne'а.
• Лекции Keith Conrad'а по алгебраической теории чисел.
• Сайт c видеозаписями лекций курса.