Лектор доц. В.А.Тиморин, преподаватель доц. П.Е.Пушкарь
Содержание курса.
- Геометрическая оптика. Принцип Ферма, обобщенный закон Снелла. Принцип Гюйгенса.
- Преобразование Лежандра: напоминание. Уравнения Гамильтона. Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа.
- Теорема Гамильтона-Якоби. Закон сохранения энергии.
- Напоминание: многообразия. Векторные поля.
- Линейные дифференциальные операторы. Символ операторов второго порядка. Коммутатор векторных полей.
- Напоминание: дифференциальные формы. Интегрирующие множители.
- Классификация квазилинейных гиперболических и параболических уравнений с частными производными второго порядка.
- Симплектические формы. Гамильтоновы векторные поля и гамильтоновы потоки.
- Первые интегралы. Канонические инварианты. Теорема Пуанкаре о возвращении.
- Скобка Пуассона. Теорема Дарбу о симплектических координатах.
- Канонические преобразования, производящие функции.
- Понижение порядка системы при помощи первого интеграла.
- Вполне интегрируемые системы.
- Контактные формы, Лежандровы подмногообразия.
- Теория УрЧП первого порядка.
Литература по курсу:
- В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, Изд. 5, Москва: URSS, 2003
- Cannas da Silva, Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry. Lecture notes. Электронная версия доступна на странице автора
- Владимиров В.С., Жаринов В.В., Уравнения математической физики. Учебник для ВУЗов.-2-е изд.-М.:Физматлит, 2003.
- Арнольд В. И., Лекции об уравнениях с частными производными. Москва: Фазис, 1997.
- Арнольд В.И., Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: URSS, 2002.
- Тихомиров В.М., Рассказы о максимумах и минимумах. Москва: Наука, 1986
Доступна в электронной библиотеке МЦНМО
Задачи семинаров
- Листок 1 (сдать на занятии 09.09.2010)
- Листок 2 (сдать на занятии 16.09.2010)
- Листок 3 (сдать на занятии 23.09.2010)
- (сдать на занятии 30.09.2010)
- (сдать на занятии 21.10.2010)
Учебные материалы по курсу II модуля вы можете посмотреть здесь