3 курс. Гамильтоновы и интегрируемые системы

Лектор доц. В.А.Тиморин, преподаватель доц. А.В.Клименко

Содержание курса.

• Геометрическая оптика. Принцип Ферма, обобщенный закон Снелла. Принцип Гюйгенса.
• Преобразование Лежандра: напоминание. Уравнения Гамильтона. Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа.
• Теорема Гамильтона-Якоби. Закон сохранения энергии.
• Напоминание: многообразия. Векторные поля.
• Линейные дифференциальные операторы. Символ операторов второго порядка. Коммутатор векторных полей.
• Напоминание: дифференциальные формы. Интегрирующие множители.
• Классификация квазилинейных гиперболических и параболических уравнений с частными производными второго порядка.
• Симплектические формы. Гамильтоновы векторные поля и гамильтоновы потоки.
• Первые интегралы. Канонические инварианты. Теорема Пуанкаре о возвращении.
• Скобка Пуассона. Теорема Дарбу о симплектических координатах.
• Канонические преобразования, производящие функции.
• Понижение порядка системы при помощи первого интеграла.
• Вполне интегрируемые системы.
• Контактные формы, Лежандровы подмногообразия.
• Теория УрЧП первого порядка.

Литература по курсу:

1. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, Изд. 5, Москва: URSS, 2003
2. Cannas da Silva, Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry. Lecture notes. Электронная версия доступна на странице автора
3. Владимиров В.С., Жаринов В.В., Уравнения математической физики. Учебник для ВУЗов.-2-е изд.-М.:Физматлит, 2003.
4. Арнольд В. И., Лекции об уравнениях с частными производными. Москва: Фазис, 1997.
5. Арнольд В.И., Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: URSS, 2002.
6. Тихомиров В.М., Рассказы о максимумах и минимумах. Москва: Наука, 1986
   Доступна в электронной библиотеке МЦНМО    
   

   ---

Задачи семинаров

Листок 1   Нужно сдать не позднее 19.09

Листок 2   Нужно сдать не позднее 03.10

Листок 3   Нужно сдать не позднее 10.10

Листок 4   Нужно сдать не позднее 17.10

Листок 5  Нужно сдать не позднее 14.11

Листок 6  Нужно сдать не позднее 21.11

Листок 7 Нужно сдать не позднее 28.11

Листок 8 Нужно сдать не позднее 12.12

Частичные записки лекций