• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Контакты

Адрес: 119048, Москва,
ул. Усачёва, 6

тел. (495) 916-89-05
тел. (495) 772-95-90 *12720
тел. (495) 772-95-90 *12726 (декан)
E-mail: math@hse.ru

Учебный офис:
mathstudyoffice@hse.ru
тел. (495) 624-26-16
тел. (495) 772-95-90 *12712

Руководство
Заместитель декана по учебной работе Артамкин Игорь Вадимович
Заместитель декана Кузнецова Вера Витальевна
Заместитель декана по науке Фейгин Евгений Борисович
Заместитель декана по работе с абитуриентами Пятов Павел Николаевич

Анонсы курсов на 2015-2016 учебный год

Course announcements in English

 predmety_s_lectorami (17.09) (XLS, 81 Кб)


 

 

 


Курсы по выбору

Алгебраическая геометрия I и II (преподается на английском языке, В. Шевчишин, В.C. Жгун) -- годовой

 

Algebraic Geometry I

Instructor: V. Shevchishin

Algebraic geometry studies geometric loci defined by polynomial equations, for example the complex plane curve f(x,y)=0. It plays an important role at both elementary and sophisticated levels in many areas of mathematics and theoretical physics, and provides the most visual and elegant tools to express all aspects of the interaction between different branches of mathematical knowledge. The course gives the flavor of the subject by presenting examples and applications of the ideas of algebraic geometry, as well as a first discussion of its technical apparatus.

Prerequisites: basic linear and multilinear algebra (tensor products, polylinear maps), basic ideas of commutative algebra (polynomial rings and their ideals). Some experience in geometry and topology (projective spaces, metric and topological spaces, simplicial complexes and homology groups) is desirable but not essential.

The course will cover a selection of the following topics:

  1. Projective spaces. Projective conics and PGL(2)
  2. Geometry of projective quadrics. Spaces of quadrics. Grassmannians
  3. Examples of projective maps: Pluecker, Segre, Veronese.
  4. Integer ring extensions, polynomial ideals, affine algebraic geometry and Hilbert's theorems.
  5. Algebraic varieties, Zarisky topology, schemes, geometry of ring homomorphisms.
  6. Irreducible varieties. Dimension.
  7. Plane projective algebraic curves: point multiplicities, intersection numbers, Bezout's theorem.
  8. Plane projective algebraic curves: singularities, duality, Pluecker formulas.
  9. Rational curves. Veronese curve. Cubic curves.
  10. Curves on surfaces. The 27 lines on a smooth cubic surface.
  11. Vector bundles and their section sheaves. Vector bundles on the projective line.
  12. Linear systems and invertible sheaves, the Picard group, line bundles on affine and projective spaces.
  13. Tangent, cotangent, normal and conormal bundles. The Euler exact sequence.
  14. Singularities and tangent cone. Blow up.
  15. Complex projective curves: canonical class, genus, Serre duality and Riemann-Roch theorem.
  16. Ponselet's porism; quadrics through a canonical curve; Klebsh and Luroth problems, and so on.


Textbooks

  1. J. Harris, Algebraic Geometry. A First Course., Springer.
  2. M. Reid, Undergraduate algebraic geometry, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988.

Algebraic geometry II

Instructor: V. Shevchishin

Complex algebraic geometry concerns the geometry of the space of solutions of a polynomial system of equations with complex coefficients (a complex algebraic variety). It has many connections to differential geometry, mathematical physics, and topology. The cohomology of a complex algebraic variety, which depends only on the topology of the variety, is endowed with an additional 'Hodge structure', which carries non-trivial geometric information about the variety.

The course will cover a selection of the following topics:

  1. Riemann surfaces
  2. Compact Kahler manifolds and smooth projective varieties
  3. Abelian varieties
  4. The Hodge theorem and the Hodge structure on the cohomology of a compact Kahler manifold
  5. The Lefschetz (1,1) theorem and the Lefschetz hyperplane theorem
  6. Kodaira's embedding theorem

 

Textbook:

Daniel Huybrechts, Complex Geometry, an introduction

Группы и алгебры Ли и их представления 1 (лекции: Г.И. Ольшанский, семинары: Л.Г. Рыбников) -- 1 семестр

Основная цель курса --- введение в теорию конечномерных представлений классических групп.

Примерный план: линейные группы Ли и их алгебры Ли, мера Хаара на линейной группе Ли, общие факты о конечномерных представлениях компактных групп и их характерах, радиальная часть меры Хаара для компактных классических групп, формула Вейля для характеров компактных классических групп, унитарный трюк Вейля, веса и корни для классических комплексных алгебр Ли, реализация представлений, универсальная обертывающая алгебра и ее применения.

Пререквизиты: главное, это линейная алгебра; основы матанализа для функций нескольких переменных; понимать определение топологического пространства, гладкого многообразия, касательного пространства; не обязательно, но желательно знакомство с основами теории представлений конечных групп.

Литература:

J. Faraut, Analysis on Lie groups. An introduction.

Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления.

Дж. Адамс, Лекции по группам Ли.

W. Fulton and J. Harris, Representation theory. First course.

Г. Вейль, Классические группы, их инварианты и представления.

Э. Б. Винберг, Линейные представления групп. 

B. Simon, Representations of finite and compact groups.

A. Kirillov, Jr. https://www.math.stonybrook.edu/~kirillov/mat552/liegroups.pdf

Программирование (Ю.Г. Кудряшов, Г.Л. Рыбников) -- годовой

Курс посвящён программированию на языке Python. Python ― универсальный скриптовый язык программирования, который используется для разных целей: web-сайты, менеджеры пакетов, графические приложения, символьные вычисления, ... При этом программы получаются гораздо короче чем, например, программы на C++. Например:

>>> import math
>>> math.factorial(20)
2432902008176640000
>>> 25 ** 32
542101086242752217003726400434970855712890625
>>> sum([i ** 2 for i in range(10)])
285
>>> first, second, *rest = [1, 2, 3, 4]
>>> print(rest)
[3, 4]

Мы начнём с основ программирования и синтаксиса Python, поэтому курс будет доступен начинающим. После этого мы сосредоточимся на сюжетах, которые могут пригодиться вам в повседневной жизни и в научной работе:

  • — — преобразование символьных выражений;
  • — — точность вычислений;
  • — — геометрический анализ (выпуклая оболочка и т. д.);
  • — — рисование графиков;
  • — — обработка массивов данных;
  • — — извлечение данных из web-страниц;
  • — — извлечение данных из таблиц Google, Office OOXML, OpenDocument;
  • — — обработка текстов при помощи регулярных выражений.

Для понимания курса предварительных знаний (и/или опыта программирования) не требуется.

Теория особенностей (преподается на английском языке, В.А. Васильев) -- годовой

Topology I и II (Горинов А.Г., преподается на английском языке, совместно с Math in Moscow) -- годовой

 

 Анонс 1 семестра (PDF, 100 Кб)

 Анонс 2 семестра (PDF, 85 Кб)

 

Дифференциальная геометрия I (М.Э. Казарян) -- 1 семестр

 

Квантовая теория поля (В.В. Лосяков, П.А. Сапонов) -- 1 семестр

 

Математическая лингвистика (Слюсарь Н.А.) -- 1 семестр

  Данный курс предполагает обзор различных лингвистических направлений и дисциплин с акцентом на те проблемы, для решения которых используются формальные методы. Особое внимание будет уделяться вопросам, значение которых выходит за рамки лингвистики. Например, есть ли всех человеческих языков универсальная основа, что мы о ней знаем, какие есть формальные модели? Как усваивают язык маленькие дети, как взрослые изучают иностранные язки, почему многие лингвисты говорят о "врожденности языка"? Что мы знаем о происхождении языка? До какой степени системы коммуникации животных похожи на человеческий язык, каким аспектам человеческого языка можно научить животное, а каким - нельзя? Можно ли сказать, что язык определяет наше мышление? Или что сам язык определяется нашей культурой и средой? Есть ли какая-то система в том, как язык меняется во времени? Можем ли мы "вычесть" из современного языка различные изменения и узнать, на каком языке говорили наши далекие предки? Как язык хранится в мозгу? Что могут сделать современные "говорящие компьютеры", а что (пока) не могут?
Обсуждение этих и многих других проблем призвано показать, что лингвистика - крайне многообразная и динаично развивающаяся наука, в рамках которой ученые с разной базовой подготовкой - в том числе с математической - решают задачи, которые могут быть интересны не только узким специалистам, но и любому из нас.

Математическая методы экономики (Левин М.И.) -- 1 семестр

 

 Анонс курса (DOCX, 12 Кб)

 

Механика и теория поля (П.Н. Пятов) -- 1 семестр

Анонс курса (PDF, 39 Кб)

Этот курс – первый в ряду базовых курсов по теоретической физике, читаемых студентам 3-4 года бакалавриата и магистратуры. Посещение его рекомендуется тем, кто задумывается над возможностью продолжения учебы в магистратуре по направлению “математическая физика”. Впрочем, знакомство с основными понятиями классической теоретической физики может быть полезным и тем, кто собирается заниматься чистой математикой.

Никаких специальных знаний по физике от слушателей курса не потребуется. Мы лишь рассчитываем, что такие понятия, как кинетическая и потенциальная энергии, лагранжиан, принцип наименьшего действия, уравнения Эйлера-Лагранжа, не являются совершенно новыми для вас после прослушивания курса “Динамические системы”.

Примерная программа курса:

  1. Лагранжев формализм (повторение): принцип наименьшего действия, уравнения Эйлера-Лагранжа, первые интегралы движения и симметрии действия, 1-я теорема Нётер.
  2. Специальная теория относительности: релятивистская инвариантность физических законов, преобразования Лоренца, пространство Минковского, группа Пуанкаре, интервал, собственное время, свободная релятивистская частица.
  3. Основы гамильтонова формализма: преобразование Лежандра, уравнения Гамильтона, скобки Пуассона и симплектическая структура, теорема Дарбу, алгебра Пуассона-Ли интегралов движения.
  4. Разделение переменных и интегрируемость: уравнения Гамильтона-Якоби, канонические преобразования, фазовые потоки и теорема Лиувилля, метод разделения переменных. (*)Интегрируемость по Лиувиллю и динамика в представлении Лакса.
  5. (*) Сингулярные динамические системы: связи и калибровочные симметрии, вторая теорема Нётер, скобки Дирака.
  6. Переход к полевым системам: свободное скалярное поле и уравнение Клейна-Гордона, 1-я теорема Нётер в полевых моделях, сохраняющиеся токи.
  7. Заряженная частица во внешнем электромагнитном поле: 4-вектор потенциала и тензор напряженности электромагнитного поля, калибровочные преобразования.
  8. Свободное электромагнитное поле: закон электромагнитной индукции и уравнения Максвелла, калибровочно-инвариантное действие, плоские э.-м. волны, тензор энергии-импульса э.-м. поля, плотности энергии и потока энергии э.-м. поля -- вектор Пойнтинга .
  9. И злучение движущихся зарядов: запаздывающая функция Грина, потенциалы Лиенара-Вихерта, дипольное и квадрупольное излучения.
  10. (*)Самодействующие скалярные поля: волна-“кинк”, спонтанное нарушение симметрии, голдстоуновские поля, взаимодействие скалярного поля с электромагнитным, явление Хиггса.
  11. (*)Неабелевы калибровочные симметрии. Классическая свободная релятивистская струна.
Значком (*) отмечены факультативные темы, обсуждение которых состоится при наличии времени.



Список рекомедованной литературы:

  1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Курс теоретической физики, т.1, Механика. М., Наука, 1988.
  2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Курс теоретической физики, т.2, Теория поля. М., Наука, 1988.
  3. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, — 3-е изд. — М., Наука, 1989.
  4. В.В. Добронравов, Основы аналитической механики. М., Высшая школа, 1976.
  5. В.А. Брумберг, Релятивистская небесная механика. М., Наука, 1972.
  6. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация. том 1. М., Мир, 1977.
  7. А.В. Борисов, И.С. Мамаев, Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Издательский дом ``Удмуртский Университет'', 1999.
  8. O. Babelon, D. Bernard, M. Talon, Introduction to Classical Integrable Systems. Cambridge University Press, 2003.
  9. Дж. Джексон, Классическая электродинамика, М., Мир, 1965.
  10. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Электродинамика. Фейнмановские лекции по физике, т.6.
  11. У ведущих курса имеется намерение выкладывать записки лекций и задачи семинарских занятий на странице курса.

Прикладные методы анализа I (Погребков А.К., Ахмедов Э.Т.) -- 1 семестр

 

Оснoвная задача курса - демонстрация применения классических аналитических метoдoв в кoнкретных задачах, восходящих к математическoй физике. Систематическое излoжение и обоснование этих методов дается в курсах функциoнальнoгo анализа и уравнений в частных прoизвoдных; предлагаемый же курс может служить им введением и мотивировкой.

Излагаемые в курсе методы испoльзуются в квантoвoй механике, теории поля и иных курсах магистерскoй прoграммы пo математическoй физике, а также в аналитических курсах математических магистерских программ. Для пoнимания прoисхoдящегo требуется владение аппаратoм математическoгo анализа 1-2 курсoв, дифференциальных уравнений и ТФКП.

Ориентирoвoчная прoграмма:

1. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений: применение преобразования Лапласа для решения задачи Коши; краевые задачи; понятие функции Грина краевой задачич и задачи Коши.

2. Обобщенные функции одной переменной: определения, топология, операции с обобщенными функциями. Регуляризация интегралов, локальная структура обобщенных функций. Формулы Сохоцкого и аналитическое представление обобщенных функций. Обобщенные функции комплексного переменного. Обобщенные функции многих переменных. Структура обобщенных функций медленного роста, Обобщенные функции, сосредоточенные на поверхности.

3. Преобразование Фурье и его свойства.

Преобразование Фурье обобщенных функций. Ряд Фурье периодических обобщенных функций. Обобщенные функции медленного роста. Применение преобразования Фурье обобщенных функций для нахождения фундаментальных решений и функций Грина обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. Интегральные уравнения. Сведение задачи Коши и краевой задачи обыкновенных дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям. Уравнения Вольтерра и Фредгольма. Задача Штурма-Лиувилля.

Пучки и гомологическая алгебра (преподается на английском языке, А.Л. Городенцев) -- 1 семестр

 Анонс курса (PDF, 41 Кб)

 Course announcement (PDF, 45 Кб)

 

Теория струн (Маршаков А.В.) -- 1 семестр

 

 Анонс курса (DOC, 31 Кб)

 

Функциональный анализ 1 (В.И.Богачев) -- 1 семестр годового курса

 Анонс курса (PDF, 45 Кб)

 

Commutative algebra (Кувабара Т., преподается на английском языке) -- 1 семестр

 

Commutative algebra plays a foundational role in algebraic geometry (where commutative rings arise as rings of functions on algebraic varieties) and in algebraic number theory (where the ring of integers in an algebraic number field is one of the main objects of study). The course will cover a selection of the following topics:

  1. Prime and maximal ideals in a commutative ring
  2. The spectrum of a commutative ring and affine algebraic geometry
  3. Noetherian rings and the Basissatz
  4. The Nullstellensatz
  5. Finite extensions and Noether's normalization lemma
  6. Kahler differentials and smoothness
  7. Completions


Textbook:

M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra

Complex analysis (Такебе Т., преподается на английском языке, совместно с Math in Moscow) -- 1 семестр

 

The course is devoted to the theory of functions of one complex variable.

Prerequisites: Real Analysis of One Variable, including integration; Basic Algebra

The course will cover a selection of the following topics:

  1. Complex-valued and holomorphic functions.
  2. Cauchy theorem.
  3. Integral Cauchy formula.
  4. Taylor series and holomorphy test.
  5. Laurent series and singular points.
  6. Residues and the argument principle.
  7. Topological properties of holomorphic functions.
  8. Compact families of holomorphic functions.
  9. Hurwitz theorem and one-sheeted functions.
  10. Analytic continuation.
  11. Riemann's theorem.
  12. Riemann surfaces and Fuchsian groups.
  13. Moduli spaces of complex tori.
  14. Analytic functions and algebraic curves.


Textbooks

  1. S.Lang, Complex analysis, 2d ed., New York: Springer, 1985.
  2. J.Bak, D.J.Newman, Complex Analysis, Springer-Verlag, 1982.
  3. L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed, McGraw-Hill, 1979.

Differential topology (Вологодский В., преподается на английском языке) -- 1 семестр

 

Differential topology extends calculus from open subsets of R^n to more global objects, called smooth manifolds, glued together from such open subsets, and applies techniques from calculus to describe the topology of such manifolds. An active subject of research in its own right, it is also very important in geometry and topology, dynamical systems, and mathematical physics.

The course will cover the following topics:

  1. Smooth manifolds and vector bundles on them
  2. Vector fields and integral curves
  3. Integration of differential forms and Stokes's theorem (generalization of the fundamental theorem of calculus)
  4. de Rham cohomology
  5. Morse theory

Textbook:

John M. Lee, Introduction to smooth manifolds

Integrable systems (Маршалл Й., преподается на английском языке) -- 1 семестр

 

Integrable systems are special Hamiltonian dynamical systems possessing a large number of conserved quantities and often admitting an exact description of solutions of the system. Integrable systems is an active subject of research in its own right with important connections to algebraic geometry, representation theory, and mathematical physics.

The course will cover a selection of the following topics:

  1. Symplectic and Poisson manifolds
  2. Hamiltonian dynamical systems
  3. Harmonic oscillators
  4. Lie Poisson structures
  5. Lagrange, Euler, and Kovalevskaya tops
  6. Calogero-Moser systems
  7. Moment maps and Hamiltonian reduction

 

Textbook:

Michele Audin, Spinning tops: A course on integrable systems

Introduction to Number Theory (Кондо С., преподается на английском языке) -- 1 семестр

 

At its most basic, number theory is the study of the integers and other closely related rings of numbers. An active subject of research in its own right, number theory not surprisingly arises in every corner of mathematics. The course will cover a selection of the following topics:

  1. Unique factorization into primes
  2. Congruences and quadratic reciprocity
  3. Algebraic number fields
  4. Unique factorization and the ideal class group
  5. Quadratic and cyclotomic fields
  6. Dirichlet's unit theorem
  7. The zeta-function and L-functions, applications to the distribution of primes


Textbook:

  1. Yu. I. Manin, Alexei A. Panchishkin,
  2. Introduction to Modern Number Theory: Fundamental Problems, Ideas and Theories

Вариационное исчисление и оптимальное управление (преподается на английском языке, И.В. Вьюгин) - 2 семестр

 

 Анонс курса (PDF, 31 Кб)

Вариационное исчисление и оптимальное управление

 

 
 
Задачи оптимизации возникают в науке, технике и повседневной жизни. Например, какая
плоская фигура при данном периметре имеет наибольшую площадь? По какой траектории
запустить космический корабль на орбиту вокруг Земли, чтобы потратить меньше всего
топлива? Как описать геодезическую на поверхности? 
С математической точки зрения, задачи оптимизации сводятся к поиску максимума или
минимума функции на некотором (возможно, бесконечномерном) пространстве. В этом
курсе мы изучим математические методы решения задач оптимизации разной природы.
Для исследования задач оптимизации применяются методы вариационного исчисления,
то есть раздела анализа, изучающего вариации функционалов, заданных на пространствах 
функций. Изучению основ вариационного исчисления будет посвящена первая часть курса.
 
 
 
- Вариационное исчисление: истории задач оптимизации, уравнения Эйлера и
Эйлера--Лагранжа, классические задачи вариационного исчисления (такие как
изопериметрическая задача, задача о брахистохроне и задача Ньютона).
 
- Метод множителей Лагранжа, нормированные пространства.
 
- Достаточные условия локального экстремума (условие второй вариации).
 
- Оптимальное управление: принцип максимума Понтрягина, уравнение Гамильтона
Якоби-Беллмана.
 
- Выпуклый анализ и геометрия: смешанные объемы и основные неравенства
выпуклой геометрии (такие как изопериметрическое, Брунна--Минковского и Александрова--Фенхеля).
 
- Геометрические приложения (геодезические и минимальные поверхности).
 
 
 
Литература
 
[1] Э.М. Галеев, М.И. Зеликин, С.В. Конягин и др., Оптимальное управление, МЦНМО 2008.
 
[2] М.И. Зеликин, Оптимальное управление и вариационное исчисление, УРСС, 2004.
 
[3] В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин, Оптимальное управление, Наука, 1979.

Вычислимость и логика -- 4 модуль (Шехтаман В.В., 1 курс бакалавриата)

 

Группы и алгебры Ли и их представления II (лекции: Б.Л. Фейгин, семинары: Л.Г. Рыбников) -- 2 семестр

 
Курс является продолжением курса  Группы и алгебры Ли и их представления -1, читающегося в первом семестре. Предполагается знакомство слушателей с понятиями групп и алгебр Ли, считаются известными классификации конечномерных представлений алгебры Ли sl_2 и группы Ли SU_2. 
 
Программа курса:

1. Универсальная обертывающая алгебра: универсальное свойство, примеры, теорема ПБВ.

2. Когомологии алгебр Ли.
 
3. Нильпотентные и разрешимые группы и алгебры Ли: теоремы Энгеля и Ли.  Форма Киллинга и разрешимый радикал. Критерий
Картана.
4. Полупростые комплексные группы и алгебры Ли: полная приводимость
конечномерных представлений, разложение Жордана,  картановские
подалгебры. 

5. Полупростые комплексные группы и алгебры Ли: системы корней, группа Вейля.
Борелевские подалгебры и многообразие флагов.

6. Классификация полупростых комплексных алгебр Ли. Матрица Картана и
соотношения Серра. (*)Существование и единственность компактной
вещественной формы полупростой комплексной алгебры Ли.  (*)Полярное разложение комплексной полупростой группы Ли.

7. Представления полупростых алгебр Ли: категория О, классификация
конечномерных представлений.

8. Формулы Вейля для характера и размерности конечномерного
неприводимого представления. 

9* алгебры Каца--Муди, представления sl2 с
крышкой и комбинаторные тождества.
Литература: 
1. Дж. Хамфрис. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.
2. A. Kirillov Jr. Introduction to Lie groups and Lie algebras.

Динамические системы и эргодическая теория (преподается на английском языке, А. Буфетов, А. Клименко) -- 2 семестр

 

 Анонс курса (PDF, 179 Кб)

 

Дискретная математика и приложения -- 4 модуль (Е.Б. Фейгин, 1 курс бакалавриата)

 

Дискретная (конкретная) математика изучает разнообразные дискретные структуры, возникающие в самых разных областях математики. В нашем курсе мы планируем обсудить деревья, графы, а также рассмотреть некоторые важные понятия из теории чисел и, возможно, теории вероятностей. Все объекты и понятия, которые будут обсуждаться по ходу курса, имеют важные приложения в самых разных математических теориях и задачах.   


Квантовая механика (В.В. Лосяков , А.Г. Семенов) -- 2 семестр

Одним из ключевых достижений физики в ХХ веке является осознание того факта, что весь окружающий нас мир подчиняется законам квантовой механики, в то время как привычные нам законы классической физики (такие как, например, уравнения Ньютона) описывают только макроскопические объекты и могут быть получены при помощи предельного перехода в этом случае. Создание квантовой механики позволило не только  продвинуться в понимании того, как устроен мир на атомных масштабах, но и стимулировало развитие множества естественнонаучных дисциплин. Квантовая механика, например, объяснила почему и каким образом из атомов образуются молекулы, и даже создание привычного нам компьютера на микроэлектронной базе не было бы возможным без понимания квантовомеханических законов. В то же самое время она оказала существенное влияние на развитие математики и стимулировала развитие ряда ее областей, таких как, например, теория линейных самосопряженных операторов в бесконечномерном Гильбертовом пространстве, теория обобщенных функций, спектральная теория и др.  В настоящее время  квантовая механика является базовым разделом современной теоретической и математической физики, а ее знание необходимо для понимания практически всех продвинутых областей современной физики  и части разделов современной математики.  Целью  данного курса является обсуждение ключевых идей квантовой механики, ее аппарата  а также ее применения для решения конкретных задач и описания физических явлений. В рамках курса планируется рассмотреть основные точные и приближенные методы квантовой механики и на примерах обсудить их применение. Список основных тем, которые будут обсуждаться на занятиях включает в себя одномерное движение, гармонический осциллятор,  двухмерное и трехмерное движение, угловые моменты, атом водорода, стационарную и нестационарную теорию возмущений, квазиклассическое приближение и др. Помимо этого планируется указать на те разделы математики, которые тесно соприкасаются с квантовой механикой. Также, по возможности, будет рассказан ряд более продвинутых  тем, таких как теория рассеяния, функциональный интеграл и тп.

Методы сбора и анализа социологической информации (Шмерлинг Д.С.) -- 2 семестр

 

 Анонс курса (DOCX, 8 Кб)

 

Прикладные методы анализа II (В.В. Лосяков, С.М. Хорошкин) -- 2 семестр

Математические методы естествознания

Прикладные метoды анализа II, весна 2016, 3-4 модули.

Проф. С.М.Хорошкин, проф. В.В. Лосяков

 

Вторая часть курса «Прикладные методы анализа». Может быть прослушана также независимо от первой при условии владения стандартным курсом анализа и начальными понятиями функционального анализа.

 

Ориентирoвoчная прoграмма:

1. Обобщенные функции многих переменных и их применение к построению функций Грина и фундаментальных решений для классических уравнений: Лапласа, теплопроводности и волнового уравнения, и к решению задачи Коши для этих уравнений.

2. Потенциалы простого и двойного слоя и запаздывающие потенциалы. Решения задач Дирихле и Неймана.

3. Асимптотические вычисления: асимптотические разложения корней уравнений, интегралов Лапласа и Фурье; метод перевала. Формула Эйлера-Маклорена и ее применения.

4. Гипрергеометрическое уравнение и гипергеометрические функции.

Вырожденные гипергеометрческие и другие специальные функции. Ортогональные многочлены.

 

Римановы поверхности и интегрируемые системы (Натанзон С.М., Погребков А.К.) -- 2 семестр

 Анонс курса (PDF, 21 Кб)

 

 

Теория вероятностей (преподается на английском языке, А.В. Колесников) -- 2 семестр

  This is an advanced course in probability with the focus on the theory of stochastic processes.
The students choosing this course must be familiar with the basic notions and facts of the classical probability theory
such as random variables, expectations, law of large number and the central limit theorem, characteristic functions,
conditional expectations and different types of convergence of random variables.

The course will cover a selection of the following topics:
  1. Discrete Markov chains. Stationary distributions. Ergodicity.
  2. Simple random walk. Transience and recurrence. 
  3. Poisson process. Branching processes.
  4. Wiener process. Existence and basic properties.
  5. Martingales. Markov times. Doob and Kolmogorov inequalities. Convergence of martingales*.
  6. Stochastic integral. Ito formula. 
  7. Stochastic differential equations*. Kolmogorov equations*.

Textbooks:
1. B. Oksendal. Stochastic differential equations.
2. G.R. Grimmet, D.R. Stirzaker. One thousand exercises in probability.
3. G. Grimet, D. Welsh. Probability: an introduction.
4. Y. Suhov, M. Kelbert, Probability and statistics by examples. Vol. 2. Markov chains.

Уравнения в частных производных (В.В. Чепыжов) -- 2 семестр

 

 Анонс курса (PDF, 88 Кб)

 

 

 

Философия (Михайловский А.В.) -- 2 семестр

 

ИСТОРИЯ ЗАПАДНОЕВРОПЕЙСКОЙ ФИЛОСОФИИ (ОТ ВОЗРОЖДЕНИЯ ДО НЕМЕЦКОЙ КЛАССИКИ)

К.ф.н., доц. школы философии А.В. Михайловский

 

Данный курс лекций является продолжением курса по истории античной и средневековой философии, проходившего на 1–2 курсах бакалавриата. Курс предназначен для всех, кто интересуется историей европейской мысли и ее культурным контекстом.

 

Цель и задачи курса — ознакомление студентов с ключевыми моментами в развитии европейской философии эпохи Возрождения и Нового времени и их культурным и идейным подтекстом, изучение главных направлений и учений западноевропейской философии этого периода в ее связи с развитием математического естествознания, рассмотрение основных проблемных полей и методологических подходов.

 

В центре внимания – не только метафизика и теория познания Гоббса, Локка, Декарта, Лейбница, Спинозы, Гегеля, но и этико-политическая проблематика – от проектов утопий и учений об общественном договоре до учения о «категорическом императиве» Канта.

 

Основное внимание в рамках семинарских занятий уделяется анализу классических текстов великих западных философов эпохи Возрождения и Нового времени.

 

 

Функциональный анализ 2 (А.Ю. Пирковский) -- 2 семестр

 Анонс курса (PDF, 23 Кб)

 

Эконометрика (Катышев П.К.) -- 2 семестр

 

 Анонс курса (DOC, 38 Кб)

 

Riemannian geometry(Пенской А.В.,преподается на английском языке, совместно с Math in Moscow) -- 2 семестр

 

Riemannian geometry is the study of manifolds endowed with a good notion of distance and angle, encoded by a so-called Riemannian metric. An important subject in its own right, it also has many connections to analysis, topology, and algebraic geometry.

The course will cover a selection of the following topics:

  1. Riemannian manifolds, connections, and curvature
  2. Geodesics
  3. The Gauss-Bonnet theorem
  4. The Cartan-Hadamard theorem on contractibility of a simply connected Riemannian manifold of non-positive curvature
  5. The Laplacian operator and the Hodge theorem on representing cohomology classes by harmonic forms

 

Textbook :

Clifford Taubes, Differential Geometry

Symplectic geometry and topology (Пушкарь П.Е., преподается на английском языке) -- 2 семестр

 

Спецкурсы

Алгебраические группы (М.В. Финкельберг) -- годовой

This is a year-long course for juniors, seniors and graduate students. The prerequisites include basic algebra and algebraic geometry. Some acquaintance with Lie algebras and Lie groups is very welcome. This course cannot be taken without the same named seminar. We will mostly follow the classical books by Springer, Vinberg and Onishchik, and also the classical book by H. Weyl on classical groups.

Алгебраические поверхности (В. Шевчишин) -- годовой

Афинные алгебры Ли и приложения (Е.Б. Фейгин) -- 1 семестр

Аффинные алгебры Каца-Муди являются одним из самых известных и хорошо изученных классов бесконечномерных алгебр Ли. Пристальный интерес к их структурной теории и теории представлений связан как с красотой и важностью самой теории, так и с разнообразными приложениями в теории чисел, алгебраической геометрии, квантовой теории поля. Например, характеры интегрируемых представлений аффинных алгебр выражаются в терминах тэта-функций, а сами пространства представлений описывают квантовую теорию Весса-Зумино-Виттена. С алгебро-геометрической точки зрения, важнейшую роль играют аффинные многообразия флагов, возникающие, в частности, при изучении расслоений на алгебраических кривых. Наш курс будет посвящен изучению различных аспектов теории аффинных алгебр Каца-Муди. Мы планируем обсудить основные результаты структурной теории и теории представлений. Большое внимание будет уделено изучению приложений в различных областях математики и математической физики.

Примерная программа курса:

  1. Простые алгебры Ли: напоминание.
  2. Аффинные алгебры Каца-Муди: основные опеределения.
  3. Аффинные алгебры Каца-Муди: интегрируемые представления.
  4. Алгебра Ли sl2, представления, тэта-функции.
  5. Бозонно-фермионное соответствие, многочлены Шура, иерархия КП.
  6. Аффинные алгебры, тета-функции и модулярные формы.
  7. Вертекс-операторные конструкции представлений.
  8. Аффинные группы и многообразия флагов

Литература:

  1. Kac, V. Innite dimensional Lie algebras, Cambridge University Press (1994).
  2. Kac V., Raina A. Bombay lectures on Highest weight representations of infite-dimensional Lie algebras (WS, 1987)
  3. Pressley, A., Segal, G. (1986),  Loop groups.
  4. Di Francesco, P., Mathieu, P., Senechal, D. (1997), Conformal Field Theory, Springer-Verlag.
  5. Kumar, S., Kac-Moody Groups, their Flag Varieties and Representation Theory, 2012, Springer.




Гармонический анализ и унитарные представления (А.Ю. Пирковский) -- 2 семестр

 Course announcement (PDF, 27 Кб)

 Анонс курса (PDF, 37 Кб)




Категории и универсальная алгебра (Шехтман В.Б.) -- 1 семестр

 
В курсе будет дано короткое введение в две обширные области на границе с 
математической логикой и информатикой. Теория категорий проявляется 
во всех областях современной математики; она дает простой язык для 
описания аналогичных явлений. Универсальная алгебра изучает 
категории абстрактных алгебр и морфизмов. Они возникают 
как в привычном математическом контексте (группы, кольца, модули), так
и в логике (решетки, булевы алгебры) и информатике (типы данных, алгебры термов).
 
Примерный план
1. Категории и функторы. Суммы, произведения, пределы. Эквивалентность категорий.
2. Морфизм функторов. Представимость, лемма Йонеды. Сопряженные функторы.
3. Алгебры и конгруэнции. 
4. Многообразия и эквациональные теории. Теорема Биркгофа о многообразиях.
5. Переписывание термов. Унификация.
6. Решетки и булевы алгебры.
 
Литература
С. Маклейн. Категории для работающего математика. М., 2004.
П. Кон. Универсальная алгебра. М., 1968.
S. Burris, H. Sankappanavar. A course in universal algebra. Millenium edition, 2012.
W. Wechler. Universal algebra for computer scientists. Springer, 1992.
 

Многомерная алгебраическая геометрия и введение в теорию Мори (Е.Ю. Америк) - 1 семестр (кредиты начисляются только за 1 семестр, но семинар возможно будет работать и во втором)

Хорошо известно, что гладкая проективная кривая - это либо проективная прямая

(каноническое расслоение отрицательно), либо эллиптическая кривая (каноническое расслоение тривиально), либо вкладывается в проективное пространство линейной

системой сечений квадрата канонического расслоения. Аналог этого утверждения

для поверхностей - классификация Кодаиры-Энриквеса: сначала доказывается, что

на гладкой проективной поверхности можно стянуть все (-1)-кривые и получить

"минимальную поверхность", затем эти минимальные поверхности делятся на классы

в соответствии со свойствами положительности канонического расслоения. В

частности, если у канонического расслоения, его квадрата, куба и т.д.

нет сечений, то получается проективная плоскость и линейчатые поверхности,

а если, наоборот, их "настолько много, насколько возможно" - поверхности общего типа, для которых линейная система сечений некоторой степени канонического

расслоения задает бирациональное на свой образ отображение в проективное

пространство.

 

Техника для аналогичной классификации многомерных проективных многообразий появилась около 1980 года в работах Каваматы, Коллара, Мори, Рида, Шокурова и

развивается до сих пор. Задача курса - ознакомить слушателя с соответствующим

кругом идей, насколько то позволит время. Предполагается в продолжение

прошлогоднего базового курса начать с совсем классических вещей (геометрия на

поверхности, критерии Накаи-Мойшезона и Клеймана), проиллюстрировать некоторые

методы на примере поверхностей, а затем изучить кое-какие краеугольные камни

многомерной теории (bend-and-break, теорема Мори о конусе, теорема Каваматы о

свободе линейной системы). Если останется время и силы, попробуем также

упомянуть новейшие достижения.

 

Два года назад аналогичной проблематике был посвящен НИС, но участники

жаловались на некоторую дезорганизацию - по логистическим причинам семинар

постоянно перескакивал с одной темы на другую. Поэтому в этом году

представляется разумным выбрать формат спецкурса, по крайней мере вначале.

Спецкурс обойдет стороной или затронет поверхностно некоторые технические

вещи (вроде построения схемы Гильберта), которые потом, если захочется,

можно будет разобрать на НИСе.

Модулярные формы Якоби многих переменных (В.А. Гриценко) - 1 семестр

 Формы Якоби появились в работе Пятецкого-Шапиро (1961) как автоморфные формы на параболических подгруппах классических групп. Эти функции являются модулярными по одной переменной и эллипическими (абелевыми) по другой. Природа переменных (тип “модулярной" области и решетка абелевых переменных) определяется типом параболической группы. В прошлом семестре мы кратко разобрали простейший случай, отвечающий прямому прозведению обычной верхней полуплоскости на поле комплексных чисел (книга Eichler-Zagier “Jacobi forms”, 1985). В 2015/16 я планирую познакомить вас с формами Якоби многих абелевых переменных с произвольной квадратичной решеткой периодов. Этод подход делает предмет более понятным и интересным, а случай книги Эйхлера и Загира соответствует простейшей системе корней А1 ранга 1. Спецкурс рассчитан на всех студентов знакомых с начальными понятиями теории чисел, комплексного анализа (и, совсем немного, с мoдулярными форми) и любящих новые неожиданные задачи. Этот курс не зависит от моего цикла лекций (2015) по формам Якоби, но я буду очень рад видеть в аудитории слушателей тех лекций. В осеннем семестре я планирую разобрать следующие вопросы:
1)Системы корней, их группа Г. Вейля и тета-функции Якоби;
2)Представления А. Вейля и векторнозначные модулярные формы;
3)Формы сингулярного веса и аффинные алгебры Ли;
4)Квазимодулярные формы, кольца инвариантных дифференциальных операторов на формах Якоби, скобки Ранкина-Koэна;
5)Слабые формы Якоби неположительных весов;
6)Как строить голоморфные формы Якоби? Тета-кварки и тета-блоки;
7)Некоммутативные кольца Гекке параболичесих групп;
8)Эллиптический род многообразий типа Калаби-Яу и его модификации.
Формы Якоби имеют многочисленные приложения в теории чисел, в теории алгебр Ли, геометрии, топологии и физике, в дискретной математике и кодировании. Например, они связаны с инвариантами Громова-Виттена, с кратностями корней гиперболических алгебр Каца-Муди, с некоторыми другими функциями распределения в теории струны. В каждой лекции курса я буду формулировать темы для возможной самостоятельной работы (от учебно-реферативных до серьезных исследовательских вопросов дипломного и диссертационного типа).

Общая теория относительности (Э.Т. Ахмедов) -- 2 семестр

Введение в ОТО начнется с рассказа о том, как перейти в неинерциальную систему отсчета в плоском пространстве-времени. Из этого студенты узнают о том, как выглядит метрика в равноускоренной системе отсчета. Из принципа наименьшего действия будет выведено уравнение геодезической в кривой метрике. Далее будет рассказано о том, чем отличается кривое пространство-время от плоского и будет введен тензор Римана. Мы введем функционал действия Эйнштейна-Гильберта, из которого по принципу наименьшего действия будут выведены уравнения Эйнштейна. У уравнений Эйнштейна есть несколько наиболее известных и физически интересных решений. Первое из них – решение Шварцшильда для черной дыры. Его свойства будут описаны после введения диаграмм Пенроуза. Следующее решение описывает излучение гравитационных волн. И наконец последнее решение, которое мы успеем обсудить на этом курсе – это космологическое решение Фридмана-Робинсона-Уокера, описывающее расширяющуюся вселенную.

Теоремы Гёделя о неполноте (БеклемишевЛ.Д.) - 2 семестр

  Курс представляет собой введение в область математической логики,
связанную с изучением формальной арифметики и неполноты. Знакомство с
такими понятиями как исчисление предикатов, машина Тьюринга и вычислимая
функция  желательно, но не является необходимым пререквизитом.

Программа

0. Аксиоматический метод, формальные аксиоматические теории, программа
Гильберта (теория и метатеория, установление консервативности versus
установление непротиворечивости, финитизм).
1. Элементарная арифметика и арифметика Пеано PA. Расширения с помощью
определений. Элементарные функции. Арифметическая иерархия.
2. Вычислимость и Σ-определимость в арифметике. Первая теорема Геделя о
неполноте.
3. Нумеруемость отношений и представимость функций в арифметике.
Доказуемая Σ_1-полнота арифметики, усиленный вариант теоремы Гёделя.
Рекурсивно неотделимые пары множеств, теорема Россера.
4. Формула доказуемости, лемма о неподвижной точке. Условия
Бернайса-Лёба. Вторая теорема Геделя о неполноте (недоказуемость
непротиворечивости), теорема Лёба, теорема Тарского о невозможности
определения истинности. Теорема Чёрча об алгоритмической неразрешимости
арифметики и чистой логики предикатов.
5. Схемы рефлексии. Локальная и равномерная рефлексия. Определение
истинности для Σ_n-формул. Теоремы о неограниченности для схем рефлексии.
6. Модальная логика доказуемости GL. Её арифметическая корректность.
Семантика Крипке для логики доказуемости. Теорема о полноте по Крипке.
Теоремы Булоса-Артемова и Горячева для локальных схем рефлексии.
7. Секвенциальное исчисление Тейта, теорема об устранении сечения для
логики предикатов. Теорема Рабина о невозможности аксиоматизации PA
аксиомами ограниченной арифметической сложности.


Литература по теоремам Гёделя

1) К. Сморинский. Теоремы о неполноте. В сб. Справочная книга по
математической логике, под ред. Дж. Барвайса. Том 4, "Теория
доказательств". Москва, «Наука», 1982 г.
Понятное и квалифицированное изложение теорем Гёделя о неполноте.

2) Дж. Булос, Р. Джеффри. Вычислимость и логика. Москва, «Мир», 1994 г.
Одно из самых простых и ясных изложений основных понятий и результатов
математической логики.

3) Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. Москва, «Наука», 1971 г.
Стандартный университетский учебник по математической логике, прошедший
проверку временем.

4) Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к
ней. Матем. просвещение, сер. 3, 2011, выпуск 15, 35–75.

5) T. Franzén. Gödel's Theorem. An incomplete guide to its use and
abuse. A.K. Peters, 2005.
An excellent discussion of the meaning of Gödel's results related to
various polemics.
Critical comments on Lukas' and Penrose's arguments, etc.

6) Л.Д. Беклемишев (2010). Теоремы Гёделя о неполноте и границы их
применимости, Успехи Математических Наук,
т. 65, №5, 2010, c. 61-104.
Обзор и обсуждение разных тонких вопросов вокруг первой теоремы Гёделя,
её вариантов и усилений.

Логика доказуемости

1) G. Boolos. The Logic of Provability. Cambridge University Press, 1993.

2) C. Smorynski. Modal logic and self-reference. Universitext, Springer,
1985.

3) Artemov, S.N. and Beklemishev, L.D. (2004): Provability Logic. In:
D.Gabbay and F.Guenthner, editors,
Handbook of Philosophical Logic, 2nd ed., volume 13, pages 189-360.
Springer, Dordrecht, 2004.


Исчисление Тейта и устранение сечения

Х. Швихтенберг. Некоторые приложения устранения сечения. В сб.
Справочная книга по математической логике, под ред. Дж. Барвайса. Том 4,
"Теория доказательств". Москва, «Наука», 1982 г.

Схемы рефлексии и фрагменты PA

Beklemishev, L.D. (2005): Схемы рефлексии и алгебры доказуемости в
формальной арифметике, Успехи математических наук, т.60, No.2, с. 3-78.

Топологические векторные пространства и обобщённые функции (А.Ю. Пирковский) -- 1 семестр

 Анонс курса (PDF, 25 Кб)

 Course announcement (PDF, 14 Кб)


Торические многообразия (К. Куюмжиян) - 1 семестр

 

Основная цель курса — знакомство с торическими многообразиями.  

 

Существует замечательный способ строить по многогранникам многообразия. При этом важные выпукло-геометрические свойства многогранников переходят в важные алгебро-геометрические свойства многообразий. Например, из самого простого многогранника -- стандартного симплекса -- этим способом получается  проективное пространство. Многообразия, которые получаются таким образом, называются торическими и доставляют множество важных примеров и контрпримеров в алгебраической геометрии.

 

Примерный план:

Аффинные и проективные торические многообразия, Orbit-Cone correspondence, автоморфизмы аффинных торических многообразий и локально нильпотентные дифференцирования, разрешение особенностей в размерности 2 и связь с цепными дробями Хирцебруха, гомологии и когомологии гладких торических многообразий.

 

Пререквизиты:

в 1 модуле понадобится выпуклая геометрия и основные понятия коммутативной алгебры, также я напомню определения аффинного и проективного алгебраического многообразия. Во втором модуле будет желательно знать определения дивизоров, основные факты про действия алгебраических групп. По возможности я буду сообщать все необходимые факты. От слушателей не предполагается глубокое знание алгебраической геометрии.

 

Курс предназначен для студентов от 3 курса и для аспирантов

 

Литература:

D. Cox, J. Little, and H.Schenck: Toric varieties, GTM 124, AMS, 2011

 

W. Fulton: Introduction to toric varieties, Annals of Mathematics Studies 131, Princeton University Press, 1993

 

В. И. Данилов, “Геометрия торических многообразий”, УМН, 33:2(200) (1978), 85–134 

 

T. Oda, Convex bodies and algebraic geometry. 

An introduction to the theory of toric varieties. Translated from the Japanese.Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 15.Springer-Verlag, Berlin, 1988. 

Хроматическая теория гомотопий (Г. Кондырев) - 2 семестр

 

 Анонс курса (PDF, 32 Кб)

 

Analysis of several complex variables (А.А. Глуцюк) -- 2 семестр

 

The analysis of several complex variables generalizes complex analysis to higher dimensions, where there are a number of interesting new phenomena. An active subject of research in its own right, it is also very important in algebraic geometry and differential equations.

The course will cover a selection of the following topics:

  1. Holomorphic functions in several variables. Taylor expansions, Cauchy-Riemann equations, Cauchy integral formula.
  2. Hartogs theorem
  3. Domains of holomorphy
  4. Coherent sheaves
  5. Stein manifolds

 

Textbook:

Klaus Fritzsche and Hans Grauert, From holomorphic functions to complex manifolds

Научно-исследовательские семинары

Введение в бесконечномерный анализ и стохастику  (Богачев В.И., Колесников А.В., Шапошников С.В.) -- годовой

 

Введение в нелинейный анализ и стохастику

под руководством докторов физ.-мат наук

В.И.Богачева, А.В.Колесникова, С.В.Шапошникова

 

Семинар посвящен обсуждению широкого круга проблем современного

анализа, относящихся к бесконечномерному анализу и стохастическому анализу. В доступной для начинающих форме будут введены необходимые для понимания основной проблематики понятия (частично с опережением программы, но в основном выходящие за рамки программы), будет дан экскурс в различные активно развивающиеся сейчас направления из этого круга, а также будут предлагаться и разбираться интересные задачи, полезные для общего развития. В частности, будут обсуждаться производные и меры, геометрия и топология пространств мер, преобразования мер.

 

 

Выпуклая и алгебраическая геометрия (Кириченко В.А., Смирнов Е.Ю., Фейгин Е.Б., Эстеров А.И.) -- годовой

Our research seminar is devoted to the many connections between convex and algebraic geometry. This interaction has many important applications in various areas of mathematics:   combinatorics, representation theory, mathematical physics to name a few. A classical and one of   the most well-known examples is the combinatorial description of an important class of algebraic   varieties - the so-called toric varieties -  in terms of polytopes and fans (collections of cones). Yet   another recent and up-to-date application is the theory of Newton-Okounkov bodies.   Participants will tell about recent papers that they find important on  
http://arxiv.org/find/grp_math/1/AND+cat:+math.AG+all:+polytope/0/1/0/all/0/1  and  
http://arxiv.org/find/grp_math/1/AND+cat:+math.RT+all:+polytope/0/1/0/all/0/1,  
providing extensive background material for those less familiar with the subject.
Geometrically oriented 2nd year students and higher are welcome.

List of talks 2014-2015

Автоморфные формы и их приложения (С.С. Галкин, В.А. Гриценко) -- годовой

Основная цель планируемого семинара начать научно-исследовательскую работу в области автоморфных форм различных типов и их приложений в алгебраической геометрии и топологии, в теории чисел, в теории алгебр Ли, в теории особенностей и физике. К работе семинара мы планируем привлечь известных ученых, которые используют в своих исследованиях автоморфную математику. Среди докладчиков 2015/16 мы надеемся увидеть Винберга (МГУ), Никулина (МИАН), Зографа (ПОМИ РАН), Голышева (ИППИ РАН) и возможных визитеров факультета и лаборатории алгебраической геометрии. Это позволит формировать новый исследовательский семинар с широкой тематикой и географией. 
Одной из основных целей планируемого семинара является формирование группы студентов, которые начнут писать курсовые, дипломные и диссертационные работы. При этом основной акцент будет сделан на приложения автоморфных форм в различных областях математики. Темы студенческих работ будут носить мультидисциплинарный характер, поэтому семинар планируется как открытая структура, готовая к сотрудничеству с различными семинарами факультета.


Научная программа. 
В 2015/16 учебном году мы планируем исследовать рефлективные модулярные формы (произведения Борчердса) на ортогональных группах 2-элементарных решеток, построить теорию дифференциальных и псевдо-дифференциальных операторов на пространствах модулярных форм типа Якоби от многих переменных, рассмотреть квази-модулярные деформации модулярных форм Гильберта и форм Зигеля рода 2. Планируется рассмотреть автоморфные формы, появляющиеся в теории зеркальной симметрии для эллиптических кривых, поверхностей Дель Пеццо, поверхностей K3, трехмерных многобразий Фано, в теории инвариантов Громова-Виттена, и понять скрытые связи между этими геометрическими объектами и некоторыми спорадичекими простыми группами. Также планируется изучение автоморфных форм для кокомпактных групп, таких как фундаментальные группы ложных проективных пространств, и доказательство зануления всех тета-характеристик (модулярных форм веса, меньшего канонического), либо построение таких форм. В качестве основных приложений планируется исследовать геометрический тип пространств модулей поляризованных поверхностей Энриквеса и пространств модулей поляризованных голоморфных симплектических многообразий, построить новые лоренцевые алгебры Каца-Муди, исследовать автоморфные дискриминанты версальных деформаций 14 исключительных особенностей Арнольда, рассмотреть теорему Шевалле для аффинных систем корней и возможно, доказать ее аналог для некоторых гиперболических систем.

Геометрические структуры на многообразиях - Geometric Structures on Manifolds (Вербицкий М.С., Галкин С.С., Жгун В.С.) -- годовой

Страница семинара

Геометрия и динамика (А.И. Буфетов, А.В. Дымов, А.В. Клименко, Г.И. Ольшанский, А.С. Скрипченко) -- годовой

 

 Анонс курса (PDF, 66 Кб)

 


Группы Шевалле (М.В. Финкельберг) -- годовой

 This is a year-long course for juniors, seniors and graduate students. The prerequisites include basic algebra and algebraic geometry. Some acquaintance with Lie algebras and Lie groups is very welcome. This course cannot be taken without the same named seminar. We will mostly follow the classical books by Springer, Vinberg and Onishchik, and also the classical book by H. Weyl on classical groups.

Дифференциальные уравнения и изомонодромные деформации (Вьюгин И.В., Побережный В.А.) -- годовой

 

Когомологии алгебраических многообразий (М.З. Ровинский, С. Кондо) -- годовой

 
На семинаре будут обсуждаться различные теории когомологии алгебраических многообразий связи между ними.

Приблизительный план на начало:

* Обзор некоторых теорий когомологий алгебраических многообразий (в т.ч. теории Ходжа, этальных когомологий, когомологий де Рама); алгебраические циклы, адекватные отношения эквивалентности. 
* Мотивы Гротендика и стандартные гипотезы (определения, поведение при бирациональных преобразованиях, теорема Яннзена о полупростоте)
* Гипотезы Бейлинсона--Блоха о фильтрации, эквивалентные формы, и смешанные мотивы;
сравнение с категориями структур Ходжа и представлений Галуа.
* Кандидат DM на роль производной категории категории смешанных мотивов;
универсальность DM среди триангулированных категорий.
* Соответствия в общих точках и построение категории смешанных мотивов как сердцевины
некоторой t-структуры триангулированной категории DM (по модулю гипотез).
* Конструкция Нори
 
Литература
1. P.Deligne, Théorie de Hodge, II, I.H. E.S. Publ. Math. No. 40 (1971), 5 --57. перевод: Математика (сб. переводов);
III, I.H. E.S. Publ. Math. No. 44 (1974), 5 --77.
2. A.Grothendieck, On the de Rham cohomology of algebraic varieties, I.H. E.S. Publ. Math. No. 29 (1966), p. 95--103.
3. У.Фултон, Теория пересечений.
4. P.Samuell, Rational equivalence of arbitrary cycles, Amer. J. Math. 78 (1956), 383 --400.
5. A. Beilinson, Notes on absolute Hodge cohomology
6. A.Beilinson, Remarks on n -motives and correspondences at generic point. Motives, polylogarithms and Hodge
theory, Part I (Irvine, CA, 1998), 35 --46, Int. Press Lect.Ser., 3, I, Int. Press, Somerville, MA, 2002.
7. A.Beilinson, Height pairing between algebraic cycles. K -theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984 --1986),
1 --25, Lecture Notes in Math., 1289, Springer, 1987.
8. U.Jannsen, Motives, numerical equivalence, and semi-simplicity. Invent. Math. 107 (1992), no.3, 447-- 452.
9 U.Jannsen, Motivic sheaves and ltrations on Chow groups. Motives (Seattle, WA, 1991), 245 --302,
Proc. Sympos. Pure Math., 55, Part 1, A.M.S., Providence, RI, 1994.
10. V.Voevodsky, A.Suslin,E.M.Friedlander, Cycles, transfers, and motivic homology theories,
Ann. of Math. Stud., 143, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2000.
Некоторое знакомство с алгебраической геометрией и гомологической алгеброй будет полезно.

Комбинаторика инвариантов Васильева (Ландо С.К., Казарян М.Э.) -- годовой

 

Методы теории классических и квантовых интегрируемых систем (Погребков А.К.) -- годовой

 

 program_integrable_2015_4_vse (PDF, 53 Кб)

 

Наглядная теория потенциала (М.Б. Скопенков) -- годовой

  Анонс курса (PDF, 704 Кб)

Представления и вероятность (А.И. Буфетов, А.В. Дымов, А.В. Клименко, Г.И. Ольшанский) - годовой

 

 Анонс курса (PDF, 67 Кб)

 

Проективная алгебраическая геометрия (Артамкин И.В., Тихомиров А.С.) -- годовой

 Обсуждаются классические алгебро-геометрические объекты в проективном пространстве: многообразия Сегре, Веронезе, грассманианы, поверхности дель Пеццо, норммногообразия, квадрики, детерминантали, и другие. При работе с этими многообразиями важное значение имеют такие конструкции, как линейные сечения и проекции, раздутия, джойны, мультисеканты, проективные касательные пространства к многообразиям, и другие понятия, способствовующие выработке полезной геометрической интуиции у слушателей.

Разнообразие многообразий  (С.С. Галкин) -- годовой

 

Современные проблемы математической логики (Шехтман В.Б., Беклемишев Л.Д., Кудинов А.В., Шамканов Д.С.) -- годовой

  Целью семинара является знакомство слушателей с наиболее значимыми результатами и продвижениями последнего времени в математической логике. Большинство докладов будут обзорными.

Теория вероятностей. Аналитические и экономические приложения (Колесников А.В., Конаков В.Б.) -- годовой

 

Предварительные знания: математический анализ, дифференциальные уравнения и основы теории вероятностей. Желательно знакомство с основами функционального анализа.ё

На семинаре будут обсуждаться темы, связанные с вероятностными идеями в анализе, в частности, стохастический и бесконечномерный анализ. Из основных приложений планируется обсудить базовые финансовые экономические модели, а также некоторые экстремальные задачи. Основные темы: меры на бесконечномерных пространствах, гауссовские меры, винеровский процесс, стохастические дифференциальные уравнения, аппроксимации решений стохастических дифференциальных уравнений, вероятностные распределения на группах Ли,  диффузии, элементы теории пространств Соболева, исчисление Маллявэна, выпуклая геометрия и вероятность (некоторые открытые проблемы), стохастический анализ на многообразиях, задача оптимальной транспортировки и ее приложения.

Теория представлений (Фейгин Б.Л., Рыбников Л.Г.) -- годовой

 

Введение в эргодическую теорию (Бланк М.Л.) - 1 семестр

  erg_hse_15 (PDF, 63 Кб)

Геометрия комплексных слоений (Ю.Г. Кудряшов) -- 1 семестр

Избранные главы дискретной математики (И.В. Артамкин) - 1 семестр

Квантовые интегрируемые системы (А.В. Забродин) -- 1 семестр

История квантовых интегрируемых систем началась в 1931 году, когда Г.Бете удалось построить точные собственные функции гамильтониана спиновой цепочки Гейзенберга с помощью специальной подстановки, с тех пор ставшей знаменитой и носящей теперь его имя (анзац Бете). В том или ином виде этот метод оказался применим ко множеству других интегрируемых моделей, как спиновых, так и теоретико-полевых. С математической точки зрения метод Бете связан с теорией представлений квантовых алгебр (q-деформаций универсальных обертывающих алгебр Ли и янгианов).
Хотя за прошедшие годы была предложена масса различных обобщений и вариантов метода Бете, секрет его удивительной эффективности и универсальности до конца не раскрыт до сих пор.
Примерный список тем, о которых будет рассказано:

  1. Координатный анзац Бете на примере модели Гейзенберга и модели одномерного бозе-газа с парным точечным взаимодействием между частицами;
  2. Анзац Бете в точно решаемых моделях статистической механики на решетке на примере 6-вершинной модели;
  3. Нахождение физических величин в интегрируемых моделях в термодинамическом пределе, термодинамический аназац Бете;
  4. Уравнения Бете и функция Янга-Янга, вычисление нормы бетевских векторов;
  5. Квантовый метод обратной задачи и алгебраический анзац Бете, квантовые R-матрицы, уравнение Янга-Бакстера;
  6. Функциональный анзац Бете и метод Q-операторов Бакстера, функциональ- ные соотношения для трансфер-матриц, трансфер-матрицы как тау-функции.

Предполагается также проследить самые последние движения мысли в области квантовых интегрируемых систем, происходящие у нас на глазах. Один из таких сюжетов  это загадочное соответствие между собственными состояниями квантовых интегрируемых спиновых цепочек с точками пересечения лагранжевых подмногооб-разий в фазовых пространствах интегрируемых систем классической механики типа Калоджеро-Мозера.
Знание основ квантовой механики и статистической физики для понимания спецкурса весьма желательно, но не категорически необходимо. Вне физического контекста анзац Бете в своем конечномерном варианте  это просто метод диагонализации больших матриц специального вида, и в этом смысле не требует никаких предвари- тельных знаний кроме основ линейной алгебры.

Наглядная геометрия (М.Б. Скопенков) -- 1 семестр

 

 Анонс курса (PDF, 39 Кб)

Основные идеи теоретической физики на примере модели Изинга (Апенко С.М. ) - 1 семестр

Торетическая физика, сложившаяся к середине 20 века как некая универсальная наука, способная понимать явления самого широкого круга, характеризуется удивительным единством методов и подходов, объединяющих такие, например, на первый взгляд далекие области, как физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Достаточно вспомнить, что теория недавно обнаруженного бозона Хиггса практически полностью скопирована с теории сверхпроводимости. Поэтому многие основные идеи современной теоретической физики можно изучать на примере простых моделей, первоначально возникших в теории конденсированного состояния. Самыми простыми из таких моделей являются системы взаимодействующих спинов, например, модель Изинга. Овладение основными методами анализа, используемыми в теории спиновых систем может в дальнейшем оказаться полезным и при решении других задач, непосредственно не связанных с теорией конденсированных сред, как в квантовой теории поля, так и в бурно развивающихся в последнее время социо- и эконофизике.

Данный курс рассчитан на довольно широкий круг слушателей. Простота моделей позволяет понять многие вещи даже первокурсникам, а глубина взаимосвязей, выявляемых при их обсуждении, может, в принципе представлять интерес и для аспирантов. От слушателей требуется базовое представление о статистической физике, теории вероятности и началах математического анализа.

На примере одномерной и двумерной моделей Изинга предполагается обсудить целый ряд основополагающих для теоретической физики понятия, таких как, например, дальний порядок, масштабная инвариантность в критической точке, преобразование ренормализационной группы, приближения сильной и слабой связи. Методы и подходы, основанные на идее ренормгруппы, будут обсуждаться особенно подробно, и не только для спиновых систем, но и для моделей теории перколяции. Понимание ренормгруппы, достигаемое на таких простых примерах будет очень полезно при дальнейшем изучении квантовой теории поля. Предполагается также обсудить топологические дефекты в низкоразмерных сиcтемах, родственные инстантонам квантовой теории, а также, возможно, явление самоорганизованной критичности.

В качестве литературы к данному курсу можно предложить следующие книги, расположенные в порядке возрастания сложности:

  1. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М. Мир, 1973

  2. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М. Мир, 1985

  3. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и эпсилон-разложение. М. Мир, 1975

  4. Поляков А.М. Калибровочные поля и струны. ИТФ им. Л.Д. Ландау, 1995

Основные понятия математики 1 (Бурман Ю.М., Львовский С.М.) - 1 семестр

Введение в инварианты Зайберга-Виттена - An introduction to Seiberg-Witten invariants (Горинов А.Г., Шевчишин В.) -- 1 семестр

Введение в теорию автоморфных форм (А.М. Левин, О.В. Шварцман) -- 2 семестр

 
Мы планируем сделать семинар доступным для второкурсников, понимающих русский язык.
Начнем с классических модулярных форм. Затем перейдем к общей теории автоморфных форм для фуксовых групп: рядам Эйзенштейна и Пуанкаре, операторам Гекке, формам Фурье –Якоби, не пропуская ярких арифметических, комбинаторных и геометрических приложений.

Гидродинамика и турбулентность (Зыбин К.П.) -- 2 семестр

 

Избранные главы КТП и теории струн (Маршаков А.В., Сапонов П.А.) -- 2 семестр

 

Континуальный интеграл в квантовой механике (Лосяков В.В., Семенов А.Г.) -- 2 семестр

 

Математика физических явлений (Арсеев П.И.) -- 2 семестр

 

Арсеев П.И.

(по мотивам лекций Р.Фейнмана)

В.И.Арнольд считал математику самой дешевой из экспериментальных наук – в отличие от физики для эксперимента в математике нужны только ручка и бумага. Физика начинается с более сложных экспериментов, но ее развитие, в свою очередь, невозможно без уравнений и более продвинутых математических конструкций. Многие математические идеи выглядят гораздо естественнее, если понимать, какими именно физическими понятиями и явлениями они были изначально порождены.

Такая связь физических соображений с определенной математикой замечательно изложена в курсе физики Ричарда Фейнмана. Некоторые из его рассуждений будут использованы на наших занятиях. Мы постараемся проследить связь физических представлений и математических методов их описания на примере механики, электродинамики, статистической физики, а также основ квантовой механики. И в качестве результата - понять физику математических уравнений.



Приглашаются все студенты, начиная с 1-го курса.

Случайные процессы, случайные матрицы и интегрируемые модели (Поволоцкий А.М.) -- 2 семестр

 

В последние годы исследователи обнаруживают замечательные связи между, на первый взгляд, совершенно различными задачами математики и теоретической физики. С математической стороны  это комбинаторные и вероятностные задачи о системах с большим числом степеней свободы.  Среди них задача описания собственных значений матриц со случайными элементами, задачи о статистике случайных диаграмм Юнга, задачи о замощении различных областей плоскости доминошками или ромбиками, задачи о перечислении непересекающихся путей на решетках. С физической стороны это задачи статистической физики о распространении границ разделов между различными средами, потоках взаимодействующих частиц, полимерах в неупорядоченных средах и т.д. . 

 

Оказывается, что все эти задачи имеют общую математическую структуру, которую условно можно обозначить  термином «интегрируемость». Эта структура стоит за множеством красивых точных математических результатов.  Более того, эти результаты обладают замечательными универсальными свойствами, которые играют такую же роль, какую играют закон больших чисел и центральная предельная теорема в теории вероятности. Рассматривая наши случайные системы издалека, мы обнаруживаем, что они имеют совершенно неслучайные предельные формы, случайные отклонения от которых описываются небольшим числом универсальных вероятностных распределений, совершенно не зависящих от деталей исходных систем. Участники семинара смогут познакомиться с описанным кругом вопросов и узнать о последних достижениях данной области. 

Эллиптические функции (Т. Такебе) - Elliptic functions (T. Takebe) - 2 семестр

 

 Анонс курса (PDF, 37 Кб)