Лектор доц. А.Ю.Пирковский, преподаватель проф.С.М.Хорошкин
Программа модуля I
- 1.1. Нормированные пространства и ограниченные линейные операторы
- Нормированные пространства; примеры: конечномерные пространства, пространства последовательностей, пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Ограниченные линейные операторы, их простейшие свойства, эквивалентность ограниченности и непрерывности; примеры: операторы умножения, сдвига, интегральные операторы. Топологические свойства линейных операторов. Мажорирование и эквивалентность норм. Классификация конечномерных нормированных пространств. Факторпространства, lp-суммы нормированных пространств.
Список литературы
Записки лекций
Задачи семинаров
Обновление 09 ноября
Программа модуля II
- 2.1. Сопряженное пространство и сопряженный оператор (продолжение)
- Теорема Радона-Никодима и пространство, сопряженное к Lp. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Теоремы об отделении выпуклых множеств. Меры Радона. Теорема Рисса-Маркова-Какутани (без доказательства). Функции ограниченной вариации и меры Лебега-Стилтьеса. Теорема Рисса о пространстве, сопряженном к C[a,b].
- 2.2. Теорема Банаха-Штейнгауза и теорема Банаха об обратном операторе
- Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике. Дополняемые подпространства.
-
- Обновление 05.12
- Раздается с 10 ноября
- Раздается с 17 ноября
- Раздается с 25 ноября
- Раздается с 01 декабря
- Вопросы к коллоквиуму
- Письменный экзамен 22.12.2011
-
Программа модуля III
- 3.1. Спектр элемента алгебры. Примеры. Алгебраические свойства спектра. Теорема об отображении спектра для многочленов и рациональных функций. Банаховы алгебры; примеры. Свойства группы обратимых элементов, компактность и непустота спектра. Спектральный радиус. Точечный, непрерывный и остаточный спектры линейного оператора. Спектры и двойственность. Вычисление спектров классических операторов.
- 3.2. Компактные метрические пространства
- Вполне ограниченные метрические пространства. Критерий компактности метрических пространств (эквивалентность компктности, секвенциальной компактности и вполне ограниченности+полноты). Лемма Рисса о почти перпендикуляре. Некомпактность сферы в бесконечномерном нормированном пространстве. Теорема Арцела-Асколи.
- 3.3. Компактные и фредгольмовы операторы
- Компактные операторы. Пространство компактных операторов. Компактность сопряженного оператора. Аппроксимация компактных операторов в гильбертовом пространстве операторами конечного ранга. Примеры компактных операторов. Фредгольмовы операторы. Примеры. Фредгольмовость сопряженного оператора. Индекс. Аддитивность индекса. Теория Рисса-Шаудера операторов "1+компактный". Альтернатива Фредгольма. Свойства спектра компактного оператора. Классические теоремы Фредгольма об интегральных уравнениях. Фредгольмовы операторы: критерий Никольского-Аткинсона. Алгебра Калкина. Открытость множества фредгольмовых операторов и локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Существенный спектр. Операторы Тёплица и геометрическая интерпретация их индекса.
Записки лекций
Задачи семинаров
Контрольные материалы
- Домашняя контрольная: задачи 13.3 (1), 13.5, 13.6, 13.12, 15.4, 15.6, 15.7, 15.8 из листков. Срок сдачи - 15 марта.
- Письменный зачет 27.03.2012
Модуль IV
Программа модуля IV
- 3.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве
- Гильбертово сопряженный оператор. C*-алгебры (определение и примеры). Связь между свойствами оператора и его сопряженного. Ортогональные проекторы, изометрии, коизометрии, унитарные, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве. Спектры унитарных и самосопряженых операторов. Спектральный радиус, собственные и инвариантные подпространства самосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве. Теорема Шмидта о компактных операторах в гильбертовом пространстве. Приложение: задача Штурма-Лиувилля.
- 3.2. Локально выпуклые пространства
- Полинормированные пространства. Локально выпуклые пространства (ЛВП) и их "полинормируемость". Примеры: пространства непрерывных, гладких, голоморфных функций, слабые топологии, топологии на пространствах операторов. Критерий непрерывности полунормы; критерий непрерывности линейного оператора между ЛВП. Эквивалентные семейства полунорм. Ограниченные множества в ЛВП. Критерии нормируемости. Достаточность множества непрерывных линейных функционалов на хаусдорфовом ЛВП. Дуальные пары и слабые топологии. Ограниченность слабо ограниченных множеств. Аннуляторы и поляры. Теорема о биполяре и ее следствия. Теорема Банаха-Алаоглу. Слабые топологии и компактные операторы.
- 3.3. Спектральная теория ограниченных самосопряженных операторов
- Непрерывное исчисление от самосопряженного оператора. Теоремы об отображении спектра и о композиции. Связь между операторами и полуторалинейными формами. Борелевское исчисление от самосопряженного оператора. Спектральные меры и представления алгебр C(X). Спектральная теорема. Функциональная модель циклического самосопряженного оператора. Функциональная модель в общем случае.
-
Записки лекций
Задачи семинаров
Контрольные материалы
- Домашняя контрольная: задачи 17.1 (кроме п. (c)), 17.3, 18.1, 18.2, 18.5, 19.10, 19.11, 19.14, 19.15 (1), 20.1, 20.2, 20.3 из листков. Срок сдачи - 21 июня.
Список литературы