• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Контакты

Адрес: 119048, Москва,
ул. Усачёва, 6

тел. (495) 916-89-05
тел. (495) 772-95-90 *12720
тел. (495) 772-95-90 *12726 (декан)
E-mail: math@hse.ru

Учебный офис:
mathstudyoffice@hse.ru
тел. (495) 624-26-16
тел. (495) 772-95-90 *12712

Руководство

Декан Тиморин Владлен Анатольевич

Заместитель декана по учебной работе Артамкин Игорь Вадимович

Заместитель декана Кузнецова Вера Витальевна

Заместитель декана по науке Фейгин Евгений Борисович

3 курс. Функциональный анализ

 Лектор доц. А.Ю.Пирковский, преподаватель проф.С.М.Хорошкин


 

Программа модуля I

1.1. Нормированные пространства и ограниченные линейные операторы
Нормированные пространства; примеры: конечномерные пространства, пространства последовательностей, пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Ограниченные линейные операторы, их простейшие свойства, эквивалентность ограниченности и непрерывности; примеры: операторы умножения, сдвига, интегральные операторы. Топологические свойства линейных операторов. Мажорирование и эквивалентность норм. Классификация конечномерных нормированных пространств. Факторпространства, lp-суммы нормированных пространств.


Список литературы


 

Записки лекций

Лекция 1    Лекция 2    Лекция 3 

Лекция 4    Лекция 5    Лекция 6

Лекция 7


 

Задачи семинаров

Листок 1    Листок 2    Листок 3

Листок 4     Листок 5 Обновление 09 ноября


 

Контрольная работа 29.09.2011   

Повторная контрольная работа 13.10.2011


Программа модуля II

2.1. Сопряженное пространство и сопряженный оператор (продолжение)
Теорема Радона-Никодима и пространство, сопряженное к Lp. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Теоремы об отделении выпуклых множеств. Меры Радона. Теорема Рисса-Маркова-Какутани (без доказательства). Функции ограниченной вариации и меры Лебега-Стилтьеса. Теорема Рисса о пространстве, сопряженном к C[a,b].
2.2. Теорема Банаха-Штейнгауза и теорема Банаха об обратном операторе
Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике. Дополняемые подпространства.
Лекция 8    Лекция 9    Лекция 10  
  Лекция 11  Обновление 05.12 Лекция 12   Лекция 13
Листок 6  Раздается с 10 ноября
Листок 7  Раздается с 17 ноября
Листок 8  Раздается с 25 ноября
Листок 9  Раздается с 01 декабря
Вопросы к коллоквиуму
Письменный экзамен 22.12.2011

Программа модуля III

  • 3.1. Спектр элемента алгебры. Примеры. Алгебраические свойства спектра. Теорема об отображении спектра для многочленов и рациональных функций. Банаховы алгебры; примеры. Свойства группы обратимых элементов, компактность и непустота спектра. Спектральный радиус. Точечный, непрерывный и остаточный спектры линейного оператора. Спектры и двойственность. Вычисление спектров классических операторов.
  • 3.2. Компактные метрические пространства
  • Вполне ограниченные метрические пространства. Критерий компактности метрических пространств (эквивалентность компктности, секвенциальной компактности и вполне ограниченности+полноты). Лемма Рисса о почти перпендикуляре. Некомпактность сферы в бесконечномерном нормированном пространстве. Теорема Арцела-Асколи.
  • 3.3. Компактные и фредгольмовы операторы
    Компактные операторы. Пространство компактных операторов. Компактность сопряженного оператора. Аппроксимация компактных операторов в гильбертовом пространстве операторами конечного ранга. Примеры компактных операторов. Фредгольмовы операторы. Примеры. Фредгольмовость сопряженного оператора. Индекс. Аддитивность индекса. Теория Рисса-Шаудера операторов "1+компактный". Альтернатива Фредгольма. Свойства спектра компактного оператора. Классические теоремы Фредгольма об интегральных уравнениях. Фредгольмовы операторы: критерий Никольского-Аткинсона. Алгебра Калкина. Открытость множества фредгольмовых операторов и локальная постоянность индекса. Устойчивость индекса при компактных возмущениях. Существенный спектр. Операторы Тёплица и геометрическая интерпретация их индекса.

Записки лекций

Задачи семинаров

 

Контрольные материалы


Модуль IV

Программа модуля IV

3.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве
Гильбертово сопряженный оператор. C*-алгебры (определение и примеры). Связь между свойствами оператора и его сопряженного. Ортогональные проекторы, изометрии, коизометрии, унитарные, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве. Спектры унитарных и самосопряженых операторов. Спектральный радиус, собственные и инвариантные подпространства самосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве. Теорема Шмидта о компактных операторах в гильбертовом пространстве. Приложение: задача Штурма-Лиувилля.
3.2. Локально выпуклые пространства
Полинормированные пространства. Локально выпуклые пространства (ЛВП) и их "полинормируемость". Примеры: пространства непрерывных, гладких, голоморфных функций, слабые топологии, топологии на пространствах операторов. Критерий непрерывности полунормы; критерий непрерывности линейного оператора между ЛВП. Эквивалентные семейства полунорм. Ограниченные множества в ЛВП. Критерии нормируемости. Достаточность множества непрерывных линейных функционалов на хаусдорфовом ЛВП. Дуальные пары и слабые топологии. Ограниченность слабо ограниченных множеств. Аннуляторы и поляры. Теорема о биполяре и ее следствия. Теорема Банаха-Алаоглу. Слабые топологии и компактные операторы.
3.3. Спектральная теория ограниченных самосопряженных операторов
Непрерывное исчисление от самосопряженного оператора. Теоремы об отображении спектра и о композиции. Связь между операторами и полуторалинейными формами. Борелевское исчисление от самосопряженного оператора. Спектральные меры и представления алгебр C(X). Спектральная теорема. Функциональная модель циклического самосопряженного оператора. Функциональная модель в общем случае.

 

Записки лекций

Задачи семинаров

Контрольные материалы

  • Домашняя контрольная: задачи 17.1 (кроме п. (c)), 17.3, 18.1, 18.2, 18.5, 19.10, 19.11, 19.14, 19.15 (1), 20.1, 20.2, 20.3 из листков. Срок сдачи - 21 июня.

Список литературы