Современная теория представлений (A.A.Кириллов)

АБB
АБB
АБB

Обычная версия сайта

Листки Лекции

Листок 1 (январь 2019) Лекция3-1 Lecture3-1

Листок 2 (январь 2019) Лекция 4 Lecture 4

      Семинар 25 марта    и Семинар 25 марта (версия 2 - расширенная)

                                                                           Модельнoe представление для Gn (K), II

                                                                           (Если Вы обнаружили опечатку в переводе лекции,
сообщите, пожалуйста, на mopsless7@gmail.com)
Задачи
   Problems.pdf

Видеоматериалы

    Семинар 14.01.2019
    Семинар 21.01.2019
    Семинар 28.01.2019
    Семинар 04.02.2019
    Семинар 18.02.2019
    Семинар 25.02.2019

    Семинар 04.03.2019
    Семинар 11.03.2019
    Семинар 01.04.2019
    Семинар 08.04.2019
    Семинар 15.04.2019

Cпециальный курс «Представления групп треугольных матриц над конечными полями»

Теория представлений — живая область современной математики, находящая применение почти во всех остальных областях. Это — математический аппарат для изучения и использования всех видов симметрии. Обычно симметрия объекта реализуется как действие на нем некоторой группы. Тип группы зависит от природы объекта: на конечных множествах действуют группы перестановок, на векторных пространствах — группы линейных операторов, на гильбертовом пространстве — унитарная группа, на многообразиях — группы диффеоморфизмов и т.п. Теория представлений для разных типов групп выглядит по-разному. Однако для широкого класса групп существует единый подход к изучению их представлений. Это метод орбит, который работает для всех групп, обладающих инфинитезимальным аналогом — так называемой алгеброй Ли.

Идеология метода орбит состоит в том, что неприводимые унитарные представления группы G связаны с орбитами этой группы в пространстве g*, двойственном к её алгебре Ли. Хотя некоторые известные математики говорят о «необъяснимой эффективности» метода орбит, для математиков, знакомых с математической физикой, должно быть понятно, что этот метод — одна из математических инкарнаций понятия квантования.

Темой моих размышлений последних лет было применение метода орбит к одному типу конечных групп, а именно групп треугольных матриц над конечным полем. Несмотря на кажущуюся простоту, эта задача до сих пор далека от полного решения. Однако уже полученные результаты и весьма разнообразные подходы — от анализа, геометрии и теории чисел до статистической механики и квантовой теории поля, позволяют надеяться на новые открытия даже начинающим математикам.

Полезные предварительные сведения:
Анализ, линейная алгебра, комбинаторика, симплектическая геометрия, квантовая механика и «все, что понадобится впредь».

Предварительный план:
Краткое введение в группы и алгебры Ли, базисные факты теории представлений конечных групп, включая преобразование Фурье, анатомия треугольных групп малых размерностей, формула для характеров в терминах орбит.