Гладкие многообразия (О.В.Шварцман, С.М. Хорошкин)

1)     Главные темы 4го модуля

1.            Риманова метрика. Примеры: евклидово пространство, сфера, пространство Лобачевского в модели  полупространства

2.            Длина кривой. Метрика путешественника и ее непрерывность.

3.            Проблема существования кратчайших. Кратчайшие на евклидовой плоскости, двумерной сфере, плоскости Лобачевского.

4.            Элементарная риманова геометрия гладких поверхностей в E^3:

Индуцированная метрика, Появление связности Леви - Чивита в связи с нахождением ускорения движения по кривой на поверхности . Геодезические . Оператор формы, Кривризны по направлениям и гауссова кривизна на поверхности.

5.            Море связностей на касательном расслоении многообразия.  Симметрическая связность  Связность  Леви-Чивита.  Связность как параллельный перенос  Как это все работает в трех двумерных геометриях постоянной кривизны.

6.            Вариация длины кривой. Геодезические относительно связности  Л-ч

Отображение EXP.Полярная система координат в окрестности точки на гладком двумерном

Римановом многообразии (лемма Гаусса) и некоторые полезные вычисления в этой системе координат.

7.            Чувство кривизны и Жутковатое определение тензора кривизны . Возвращение к гауссовой кривизне на вложенных в E^3 гладких ориентируемых поверхностях

8.            Теорема Гаусса-Бонне  на поверхности. Геометрические способы описания кривизны.

2)     Для домашнего чтения:

1.            ВЕЛИКАЯ КНИГА   ДЖОНА МИЛНОРА Теория Морса (глава про риманову геометрию) 

ИЗД МИР 1966

2.           Дубровин Б.А., Новиков С.П,  Фоменко А.Т., Современная геометрия, т.1

Наука  1979 ( [124.159.77] на интернет ресурсе http://nozdr.ru/biblio/edu/math/high)

3.            Бишоп Р.Л,  Криттенден Р.Д, Геометрия Многообразий

Мир, 1967 ( [124.125] на интернет ресурсе http://nozdr.ru/biblio/edu/math/high).

Дополнительная литература.

Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Первое знакомство с дифференциальной геометрией.

Глава 4, конспект  курса  лекций для студентов физфака МГУ( [124.154.96] на интернет ресурсе

http://nozdr.ru/biblio/edu/math/high).

      3)            Контрольные мероприятия:

Две  текущие контрольные работы +письменный экзамен в сессию.

      4)            Как самостоятельно рассчитать итоговую оценку?

Вот  подробный ответ на этот  вопрос

Итоговая оценка =0.6(оценка за 3 модуль)+0,4(оценка в 4 модуле)

(оценка за 4 модуль)=0.3(1 контрольная)+0.3(2 контрольная)+0.4(письменный экзамен)

…

      5)            Oстальное обсудим по дороге. Возникнут  вопросы- пишите ossipsh @gmail.com

Будьте здоровы.

1.  Векторные расслоения

2.  Тензорные расслоения и тензорные поля

3.  Поток векторного поля. Производная Ли

4.  Алгебра внешних форм. Внешний дифференциал.

5.  Подстановка векторного поля. Формулы Картана

6.  Разбиение единицы. Теоремы вложения

7.   Многообразия с краем. Ориентация.

8.  Интегрирование дифференциальных форм. Общая формула Стокса

9.  «Векторный анализ»: дивергенция, ротор. Частные случаи формулы Стокса

10.  Лемма Пуанкаре. Точные и замкнутые формы. Примеры вычислений когомологий де Рама.

В конце модуля будет роздано индивидуальное домашнее задание на подсчет интегралов и производной Ли.   Модуль заканчивается устным коллоквиумом

1. Зорич В.А. Математический анализ, том 2 МЦНМО 2019

2. Новиков С.П., Тайманов И.А., Современные геометрические структуры и поля МЦНМО 2005

3. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения МЦНМО, 2020

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики Наука 1989   

5. Натанзон С.М. Введение в теорию гладких многообразий МЦНМО, 2020

6. Уорнер Ф., Основы теории гладких многообразий и групп Ли.  Мир, 1987

7. Спивак М. Математический анализ на многообразиях Мир 1986

8. Ботт Р., Ту, Л.В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Платон 1997

9. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, Мир, 1973.

1.  Оценки за модуль выставляются по принципу 0,6 х оценка за работу на семинаре + 0,45 х оценка за устный коллоквиум.

2.  Oценка за полугодие суммируется в пропорции 0.6 х оценка за 3 модуль +0, 4 х оценка за 4 модуль

3.  На 3-ой (23-29 января), 6-ой   (13-19  февраля) и 9- ой  (6-12 марта) неделях каждый студент должен отчитаться своему учебному ассистенту или преподавателю о задачах прошедших семинаров. Принимающий должен удостовериться в том, что студент понимает все нужные определения и конструкции и понимает, как решать задачи, разобранные на семинарах и в домашних заданиях.

4.  Итоговую оценку за работу на семинарах выставляет преподаватель, ведущий семинары в группе по согласованию с ассистентами группы по своему собственному правилу. По умолчанию, примерная формула оценки за семинары: 0.45 х отчеты +0.45 х (работа на семинарах+дз)+0.1х инд. домашнее задание.