Алгебра 2021-2022 (О.В.Шварцман)

Вспоминаем  поля, кольца многочленов, алгоритм Эвклида, схему Горнера, автоморфизмы  колец и полей, лемму Гаусса о факторизации

Алгебраические числа. Степень алгебраического числа

Конечные подгруппы  мультипликативной группы поля

Расширения поля. Алгебраические расширения.

Конечные и простые расширения. Башни. Алгебраическое замыкание поля.

Мономорфизмы полей.

Главная теорема курса о продолжении мономорфизма на алгебраическое замыкание.

Расширения Галуа. Соответствие Галуа

Смесь Галуа: конечные поля, циклические поля.разного рода, примеры на технику вычисления групп Галуа, теорема о разрешимости уравнений в радикалах (без доказательства), разрешимость в квадратичных радикалах и построения циркулем и линейкой

2.   Советую писать контрольную у семинариста, занятия которого вы реально посещаете..  День выбирает он

3.   Как обычно, 3 задачи на 1 час 20 мин. Максимальный балл - 60.

4.   Вот темы контрольной и несколько задач для проверки вашей готовности:

           Гомоморфизмы и автоморфизмы полей. Соответствие Галуа.

           Нахождение Групп Галуа для многочленов невысоких степеней.

      Желательно продумать решения большинства задач 16 и 17 семинаров и самостоятельно выполнить тестовое задание

1)  Найти группу Галуа над Q многочлена (X^2+1)(X^2+3)

2)  Построить расширение Галуа над полем Q с группой Галуа Z/3Z

3)  Может ли группа порядка 9 быть группой Галуа неприводимого многочлена четвертой степени над полем Q?

Если возникнут проблемы, то пишите заранее вашему семинаристу или мне.

Если Вы можете самостоятельно решить за 2 часа следующие Четыре  задачи, то Вам не страшны  Новогодние представления.

Задача 1. Вычислить квадрат модуля определителя матрицы характеров Абелевой группы.

Задача 2. Если алгебра сплетающих операторов  комплексного представления конечной группы

Коммутативна, то это представление имеет простой  спектр.  Доказать.

Задача 3.  Разложить на неприводимые  четвертую  симметрическую  степень  трехмерного неприводимого представления группы  A_4

Задача 4. Существует ли группа порядка 24, совпадающая со своим коммутантом?

( примените  элементарную теорию представлений )

Что нужно знать о числах? То немногое, что Вам успеют рассказать. Следите внимательно за семинарами 11-13

Пока все,

Будьте здоровы,

ОВ

controln26nov_var4

controln26nov_var5

controln26nov_var6

Уважаемые  слушатели  курса  Алгебра 2!

1.   На неделе 22-26 ноября  в каждой группе на подходящем семинарском занятии пройдет дистанционная Контрольная работа (3 задачи на семинарское занятие)

На тему: матричные элементы как функции на группе, соотношения ортогональности и их следствия, характеры, разложения центральных  функций по характерам. таблицы характеров маленьких групп.

2.   Узнать обо всех деталях  можно у вашего семинариста.

3.   Тензоры остаются на  Новогоднюю праздничную, зачетную контрольную

Пока все,

Будьте здоровы,

ОВ

1)  Напоминаю, что 23 октября с 10.00 до 12.00 вы пишете Зачетную Контрольную (ее вес 0.6 в итоговой оценке). Приходите.

2)  Как обычно, три задачи, стоимостью 20 баллов каждая. Задачи в среднем будут покрепче задач контрольных 4 и 5 октября

3)  Можно пользоваться конспектом лекций на бумажном носителе. И это все.

4)  Темы: содержание 5 прочитанных лекций

5)  Умение решать первые четыре задачи 5 семинаров и знание определений необходимо (но не достаточно) для того, чтобы не обнулиться.

Пока все,

ОВ

1)    ТЕМА первых двух модулей Элементарное введение в теорию представлений конечных групп

Желательно  владеть линейной алгеброй в объеме  книги   И.М.Гельфанд  Лекции по линейной алгебре (это чуть меньше  нашей программы  на  первом курсе )

Содержание лекций и семинаров:

1.           Основные определения Простые примеры

2.           Редуктивность (теорема Машке) и унитаризуемость над полем комплексных чисел

3.           Сплетающие операторы и лемма Шура

4.           Основные операции: прямая сумма и тензорное произведение

5.           Представления абелевых групп. Примеры посложнее

6.           Спектр представления. Теорема о единственности спектра

7.           Матричные элементы Спектр регулярного представления

8.           Групповая алгебра и теория характеров

9.           Представления групп симметрий платоновых тел.

Литература:   Например, классические учебники

Э.Б  Винберг Курс алгебры,

Ж-П  Серр   Линейные представления конечных групп

М.А. Наймарк  Теория представлений групп

А.А Кириллов  Элементы теории представлений

Хаммермеш  Теория групп и ее применение к физическим проблемам

2) ТЕМА третьего модуля - элементы теории Галуа, но так далеко заглядывать  не будем

3) КАК РАССЧИТАТЬ ИТОГОВУЮ  ОЦЕНКУ.

Намечается провести  несколько (зависит от того, как дело пойдет ) текущих контрольных работ. Плюс три зачетных контрольных (по одной в конце каждого модуля).

Так вот: СРЕДНЯЯ ОЦЕНКА ЗА ВЕСЬ ТЕКУЩИЙ КОНТРОЛЬ ВОЙДЕТ В ИТОГ С КОЭФФИЦИЕНТОМ 0,4

СРЕДНЯЯ ОЦЕНКА ЗА ЗАЧЕТНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ – с коэффициентом 0,6

Мнение семинариста о работе студента  тоже будет неуловимо учитываться

4) ВНИМАТЕЛЬНО следите за объявлениями  о КОНТРОЛЬНЫХ МЕРОПРИЯТИЯХ  на САЙТЕ КУРСА.

Экскурсии в Переделкино  в этом году отменены из-за пандемии.

Пока все, УЧИТЕ линейную алгебру, ПРИВИВАЙТЕСЬ, НЕ БОЛЕЙТЕ.

5) ЕСЛИ ЧТО,  ПИШИТЕ  ossipsh@gmail.com ИЛИ ЗВОНИТЕ ПО КРАСНОМУ ТЕЛЕФОНУ