- A
- A
- A
- АБB
- АБB
- АБB
- А
- А
- А
- А
- А
Адрес: 119048, Москва,
ул. Усачёва, 6
тел. (495) 916-89-05
тел. (495) 772-95-90 *12725
E-mail: math@hse.ru
Учебный офис:
mathstudyoffice@hse.ru
тел. (495) 624-26-16
тел. (495) 772-95-90 *12713
ДПО факультета математики:
dpo-math@hse.ru
Проект «Математическая вертикаль»:
math.vertical@hse.ru
ЛМШ факультета математики - Летняя школа для школьников:
math.vertical.school@hse.ru
Редакторы сайта факультета:
3 курс. Функциональный анализ
Лектор доц. А.Ю.Пирковский
Программа модуля I
- 1.1. Нормированные пространства и ограниченные линейные операторы
- Нормированные пространства; примеры: конечномерные пространства, пространства последовательностей, пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Ограниченные линейные операторы, их простейшие свойства, эквивалентность ограниченности и непрерывности; примеры: операторы умножения, сдвига, интегральные операторы. Топологические свойства линейных операторов. Мажорирование и эквивалентность норм. Классификация конечномерных нормированных пространств. Факторпространства, lp-суммы нормированных пространств.
- 1.2. Банаховы пространства
- Напоминания о полных метрических пространствах. Банаховы пространства. Полнота классических пространств. Полнота факторпространств. Полнота пространства линейных операторов. Продолжение линейных операторов "по непрерывности". Пополнение.
- 1.3. Гильбертовы пространства
- Полуторалинейные формы; поляризация. Скалярные произведения и предгильбертовы пространства; примеры. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца; норма на предгильбертовом пространстве. Гильбертовы пространства; примеры и конструкции. Проекции и ортогональные дополнения. Направленности и суммируемые семейства. Ортогональные и ортонормированные системы. Коэффициенты Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Ортонормированные базисы. Эквивалентность свойств тотальности, максимальности и базисности ортонормированных систем. Равенство Парсеваля. Ортогонализация. Существование ортонормированных базисов. Теорема Рисса-Фишера. Классификация гильбертовых пространств.
- 1.4. Линейные функционалы
- Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Примеры. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Описание пространств, сопряженных к классическим нормированным пространствам. Каноническое вложение во второе сопряженное; рефлексивность. Пространство, сопряженное к подпространству и к факторпространству. Сопряженный оператор в случае гильбертовых пространств. C*-тождество.
- 1.5. Теорема Банаха об обратном операторе и теорема Банаха-Штейнгауза
- Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза и ее следствия. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике.
Записки лекций
Лекции 1-2 Лекция 3 Лекция 4 Лекции 5-7 (обновление 18.01.2011)
Задачи семинаров
- Листок 1 (срок сдачи - 27 сентября)
- Листок 2 (срок сдачи - 11 октября)
- Листок 3 (срок сдачи - 11 октября. Этот листок - необязательный, хотя и желательный)
- Листок 4 (срок сдачи - 18 октября)
- Листок 5 (срок сдачи - 25 октября)
Контрольные материалы
Программа модуля II
- 2.1. Линейные функционалы
- Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Примеры. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Теоремы о разделении выпуклых множеств. Описание пространств, сопряженных к классическим нормированным пространствам. Каноническое вложение во второе сопряженное; рефлексивность. Пространство, сопряженное к подпространству и к факторпространству.
- 2.2. Теорема Банаха об обратном операторе и теорема Банаха-Штейнгауза
- Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза и ее следствия. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике. Двойственность для банаховых пространств: связь свойств оператора со свойствами его сопряженного.
- 2.3. Спектр: алгебраические свойства
- Спектр элемента алгебры. Примеры. Поведение спектра при гомоморфизмах. Спектр относительно подалгебры. Спектр произведения. Спектр обратного элемента. Теорема об отображении спектра для многочленов.
- 2.4. Банаховы алгебры и спектры их элементов
- Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов. Характеры. Компактность спектра. Резольвентная функция. Непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус.
- Лекции 8-9
Задачи семинаров
В этом модуле действует следующая система оценок за задачи из листков. За каждую задачу из листка, сданную в течение трех недель включительно с момента раздачи листка, ставится 1 балл; на 4-й неделе - 0.7 балла; далее - 0.5 балла.
Листок 6 Раздается с 1 ноября
Листок 7 Раздается с 8 ноября
Листок 8 Задачи 1-6 раздаются с 11 ноября, задачи 7-11 - с 15 ноября. Обновление 01.03.2011
Листок 9 Раздается с 15 ноября
Листок 10 Раздается с 22 ноября
Листок 11 Необязательный, задачи из него будут зачтены всем в виде бонусных баллов
Листок 12 Содержит задачи по теме последней лекции модуля 2, но будет приниматься в модуле 3
Контрольные материалы
Вопросы к коллоквиуму I-II модуль
Письменный экзамен. Пересдача 08.02.2011
Программа модуля III
- 2.1. Банаховы алгебры и элементарная спектральная теория
- Спектр элемента алгебры. Примеры. Поведение спектра при гомоморфизмах. Теоремы об отображении спектра для многочленов и рациональных функций. Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов. Характеры. Компактность спектра. Резольвентная функция. Непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус.
Записки лекций
Задачи семинаров
В этом модуле действует следующая система оценок за задачи из листков. За каждую задачу из листка, сданную в течение трех недель включительно с момента раздачи листка, ставится 4 балла; на 4-й неделе - 3 балла; далее - 2 балла.
Листок 13 Раздается с 18 января
Листок 14 Раздается с 25 января
Листок 15 Раздается с 1 февраля. Обновление 22.02.2011
Листок 16 Раздается с 8 февраля
Листок 17 Раздается с 22 февраля
Листок 18 Раздается с 1 марта
Листок К Повтор нескольких задач из контрольной работы. Раздается с 1 марта
Листок 19 Раздается с 15 марта, будет учитываться в следующем модуле, но задачу 1 рекомендуется сделать уже сейчас.
Модуль IV
Программа модуля IV
- 4.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве
- Гильбертово сопряженный оператор. Связь между операторами в гильбертовом пространстве и полуторалинейными формами. Связь между свойствами оператора и его сопряженного. Ортогональные проекторы, изометрии, коизометрии, унитарные, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве. Спектры унитарных и самосопряженых операторов. Спектральный радиус, собственные и инвариантные подпространства самосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве. Теорема Шмидта о компактных операторах в гильбертовом пространстве. Приложение: задача Штурма-Лиувилля.
Задачи семинаров
В этом модуле действует та же система оценок за задачи из листков, что и в модуле III.
Листок 20 Раздается с 5 апреля
Листок 21 Раздается с 12 апреля
Листок 22 Раздается с 19 апреля. Обновление от 20 мая
Листок 23 Раздается с 10 мая
Листок 24 Раздается с 17 мая
Вопросы к коллоквиуму Обновлено 20 мая