3 курс. Функциональный анализ

Лектор доц. А.Ю.Пирковский

Программа модуля I

Записки лекций

Лекции 1-2    Лекция 3  Лекция 4  Лекции 5-7  (обновление 18.01.2011)

Задачи семинаров

• Листок 1 (срок сдачи - 27 сентября) 
• Листок 2 (срок сдачи - 11 октября)  
• Листок 3 (срок сдачи - 11 октября. Этот листок - необязательный, хотя и желательный)
• Листок 4 (срок сдачи - 18 октября)
• Листок 5 (срок сдачи - 25 октября)

Контрольные материалы

• Контрольная работа № 1

• Письменный зачет 26.10.2010
• Письменный зачет. Пересдача 08.02.2011

Программа модуля II

2.1. Линейные функционалы

Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Примеры. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Теоремы о разделении выпуклых множеств. Описание пространств, сопряженных к классическим нормированным пространствам. Каноническое вложение во второе сопряженное; рефлексивность. Пространство, сопряженное к подпространству и к факторпространству.

2.2. Теорема Банаха об обратном операторе и теорема Банаха-Штейнгауза

Теорема Бэра. Свойство бочечности банаховых пространств. Теорема Банаха-Штейнгауза и ее следствия. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике. Двойственность для банаховых пространств: связь свойств оператора со свойствами его сопряженного.

2.3. Спектр: алгебраические свойства

Спектр элемента алгебры. Примеры. Поведение спектра при гомоморфизмах. Спектр относительно подалгебры. Спектр произведения. Спектр обратного элемента. Теорема об отображении спектра для многочленов.

2.4. Банаховы алгебры и спектры их элементов

Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов. Характеры. Компактность спектра. Резольвентная функция. Непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус.

Лекции 8-9

---

Задачи семинаров

В этом модуле действует следующая система оценок за задачи из листков. За каждую задачу из листка, сданную в течение трех недель включительно с момента раздачи листка, ставится 1 балл; на 4-й неделе - 0.7 балла; далее - 0.5 балла.

Листок 6  Раздается с 1 ноября

Листок 7  Раздается с 8 ноября

Листок 8  Задачи 1-6 раздаются с 11 ноября, задачи 7-11 - с 15 ноября. Обновление 01.03.2011

Листок 9  Раздается с 15 ноября

Листок 10  Раздается с 22 ноября

Листок 11 Необязательный, задачи из него будут зачтены всем в виде бонусных баллов

Листок 12 Содержит задачи по теме последней лекции модуля 2, но будет приниматься в модуле 3

Контрольные материалы

Вопросы к коллоквиуму I-II модуль

Письменный экзамен 25.12.2010

Письменный экзамен. Пересдача 08.02.2011

Программа модуля III

2.1. Банаховы алгебры и элементарная спектральная теория

Спектр элемента алгебры. Примеры. Поведение спектра при гомоморфизмах. Теоремы об отображении спектра для многочленов и рациональных функций. Банаховы алгебры. Примеры. Свойства группы обратимых элементов. Характеры. Компактность спектра. Резольвентная функция. Непустота спектра. Теорема Гельфанда-Мазура. Спектральный радиус.

Записки лекций

Лекция 14   Лекция 15 Обновление 22.02.2011 Лекция 16

Задачи семинаров

В этом модуле действует следующая система оценок за задачи из листков. За каждую задачу из листка, сданную в течение трех недель включительно с момента раздачи листка, ставится 4 балла; на 4-й неделе - 3 балла; далее - 2 балла.

Листок 13 Раздается с 18 января

Листок 14 Раздается с 25 января

Листок 15 Раздается с 1 февраля. Обновление 22.02.2011

Листок 16 Раздается с 8 февраля

Листок 17 Раздается с 22 февраля

Листок 18 Раздается с 1 марта

Листок К Повтор нескольких задач из контрольной работы. Раздается с 1 марта

Листок 19  Раздается с 15 марта, будет учитываться в следующем модуле, но задачу 1 рекомендуется сделать уже сейчас.

Письменный зачет 29.03.2011   

Модуль IV

Программа модуля IV

4.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве

Гильбертово сопряженный оператор. Связь между операторами в гильбертовом пространстве и полуторалинейными формами. Связь между свойствами оператора и его сопряженного. Ортогональные проекторы, изометрии, коизометрии, унитарные, самосопряженные и нормальные операторы в гильбертовом пространстве. Спектры унитарных и самосопряженых операторов. Спектральный радиус, собственные и инвариантные подпространства самосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве. Теорема Шмидта о компактных операторах в гильбертовом пространстве. Приложение: задача Штурма-Лиувилля.

Задачи семинаров

В этом модуле действует та же система оценок за задачи из листков, что и в модуле III.

Листок 20 Раздается с 5 апреля

Листок 21   Раздается с 12 апреля

Листок 22 Раздается с 19 апреля. Обновление от 20 мая

Листок 23 Раздается с 10 мая

Листок 24 Раздается с 17 мая

Вопросы к коллоквиуму Обновлено 20 мая