Алгебра 2 курс бакалавриата 2013-2014 учебный год

Второй курс Третий модуль
Объявление: В кондуите (графа диплом) появилась результирующая оценка за 3-й модуль (она будет стоять в ведомости и в дипломе), вычисленная как среднее арифметическое за все 7 модулей с округлением до ближайшего сверху целого числа. Жалобы на арифметические ошибки при вычислении оценки принимаются до 17:30 часов 30 марта.

 Правила досрочного экзамена за 3й модуль (PDF, 39 Кб)

Правила оформления электронных домашних работ
Результаты домашних заданий и листков.

неделя	лекция	домашнее задание	задачи семинара	листки
12-16 января	Основной вопрос теории Галуа и его формализации. Расширения полей, степень расширения, алгебраические и транцендентные элементы. Мультипликативность степени расширения для башен полей. Построения циркулем и линейкой, необходимое (с доказательством) и достаточное (без доказательства) условие разрешимости задачи на построение.	ДЗ№1 Срок сдачи 20 января (PDF, 54 Кб)	Задачи семинара 1 (PDF, 44 Кб)	Листок по расширениям полей. Срок сдачи 4 марта 2015 г. (PDF, 66 Кб)
19-23 января	Поликвадратичные поля. Круговые поля и правильные многоугольники, которые можно построить циркулем и линейкой. Неприводимость кругового многочлена и степень кругового поля. Явное вычисление квадратичного расширения поля рациональных чисел, содержащегося в круговом поле, полученным присоедининением первообразного корня простой степени.	ДЗ№ 2 срок сдачи 27 января (PDF, 57 Кб)	Задачи семинара 2 (PDF, 56 Кб)
26-30 января	Обмен лекциями с дин. системами	ДЗ№2 переносится на 3 февраля	Задачи семинара 3 (PDF, 49 Кб)
2-6 февраля	Группа автоморфизмов расширения. Теорема о примитивном элементе. Сепарабельные и нормальные расширения. Пример конечного несепарабельного расширения и расширения без примитивного элемента. Нормальность поля разложения многочлена. Расширения Галуа.	ДЗ№ 3 срок сдачи 10 февраля (PDF, 52 Кб)	Задачи семинара 4 (PDF, 43 Кб)
9-13 февраля	Эквивалентность четырёх определений расширения Галуа: (1) нормальное сепарабельное расширение (2) порядок группы автоморфизмов равен степени расширения (3) поле инвариантов группы автоморфизмов совпадает с основным полем (4) поле разложения сепарабельного многочлена. Основная теорема теории Галуа.	ДЗ№4 срок сдачи 17 февраля (PDF, 60 Кб)	Задачи семинара 5 (PDF, 50 Кб)
16-20 февраля	Нормальные подгруппы группы Галуа. Расширения с циклической группой Галуа и разрешения, полученные присоединением радикала. Резольвента Лагранжа линейного оператора (напоминание).	ДЗ№5 срок сдачи 24 февраля (PDF, 55 Кб)	Задачи семинара 6 (PDF, 45 Кб)
24-27 февраля	Резольвенты Лагранжа для циклической группы Галуа. Разрешимые группы и разрешимость уравнений в радикалах. Решение в радикалах уравнений степени 2, 3 и 4. Кубическая резольвента и её геометрическая интерпретация через коники. Неразрешимость в радикалах общих уравнений степени 5 и выше. Доказательство достаточного условия построимости циркулем и линейкой.	ДЗ№6 (PDF, 56 Кб)	Задачи семинара 7 (PDF, 62 Кб)	Листок по теории Галуа (срок сдачи 18 марта) (PDF, 70 Кб)
2-6 марта	Коллоквиум Вопросы коллоквиума по алгебре (PDF, 66 Кб)
10-13  марта	Расширение поля рациональных функций от n переменных и универсальные формулы в радикалах для корней уравнения степени  n.  Неразрешимость группы S_n при n>4. Существование и единственность  конечного поля из p^k элементов. Конечные расширения конечных полей  и теория Галуа для них. Единственность поля разложения многочлена.
16-20 марта	Топологическая теория Галуа: группа монодромии многозначной аналитической функции, дифференциального уравнения. Связь с алгебраической теорией Галуа: группа монодромии алгебраической функции.		Задачи для подготовки к экзамену (PDF, 48 Кб)

Лекции: вторник, 15:30-16:50, ауд. 213

Лектор: Кириченко Валентина Алексеевна, vkiritchenko@yahoo.ca

Семинары:

• Группа 1: пн 13:30-14:50, ауд. 317

  Преподаватели: Кириченко Валентина Алексеевна,  Смирнов Евгений Юрьевич , Эстеров Александр Исаакович

• Группа 2: пн 12:00-13:20, ауд. 213

  Преподаватели: Галкин Сергей Сергеевич,  Тоширо Кувабара, Фейгин Евгений Борисович  

• Группа 3: пт 12:00-13:20, ауд. 209

  Преподаватели: Рыбников Леонид Григорьевич, Ян Маршалл

Матпрактикум: среда 13:30-16:50, ауд. 213 (каждая вторая неделя, начиная с 21 января)

Учебные ассистенты: Александра Викторова vict271@yandex.ru; Богдан Завьялов bzavjalov@mail.ru; Александра Кузнецова sasha.kuznetsova.57@gmail.com; Артём Курикша artem.kuriksha@gmail.com; Виктория Малясова malyasova.viktoriya@yandex.ru; Дмитрий Тюрин dimtyurin@mail.ru‎.

Рекомендуемые учебники:

• Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., Факториал, 19
• M.Artin. Algebra.Pearson, 1991
• Б.Л.Ван дер Варден. Алгебра. М., Наука, 1979
• А.Л.Городенцев. Алгебра. Учебник для студентов-математиков.М., МЦНМО, 2013

Дополнительная литература:

• И.В.Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М., МЦНМО, 2006
• И.М.Гельфанд, М.М.Капранов, А.В.Зелевинский. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Springer, 1994
• Дж.Конвей, Н.Слоэн. Упаковки шаров, решётки и группы. В 2-х томах. Пер. с англ. - М., Мир, 1990
• D.A.Cox. Why Eisenstein Proved the Eisenstein Criterion and Why Schönemann Discovered It First. American Mathematical Monthly, 118(2011), no. 1, 3–31
• B.Sturmfels. Polynomial equations and convex polytopes. American Mathematical Monthly, 105 (1998), no. 10, 907–922.
• М.В.Финкельберг. Лекции по алгебре. НМУ, 1997 (теория Галуа - лекции 1-5)
• А.Г.Хованский. Теория Галуа, накрытия и римановы поверхности. МЦНМО, 2007
• А.Г.Хованский. Топологическая теория Галуа. МЦНМО, 2008

Оценка в третьем модуле (используется только для вычисления итоговой оценки по курсу, в ведомость не идёт): 30%К+30%ДЗ+20%Э+20%Л. 
Итоговая оценка по курсу алгебры будет вычисляться как среднее арифметическое итоговых оценок за все 7 модулей.

Второй курс Второй модуль
Программа коллоквиума

неделя	лекция	домашнее задание	задачи семинара	листок	решения ДЗ
7-13 ноября	Представление группы, неприводимое представление, прямая сумма и тензорное произведение представлений. Примеры: тавтологическое представление симметрической группы, представления циклических групп, представления классических групп маленьких размерностей (исключительные гомоморфизмы). Теорема о классификации представлений конечных групп (без доказательства). Характеры группы. Пятиминутка1	Домашнее задание 7срок сдачи 18 ноября	Задачи семинара 8	Листок по кольцам целых числовых полей. Срок сдачи 19.11.2014.	Решение ДЗ7 (PDF, 52 Кб)
14-20 ноября	Унитарные представления, инвариантные эрмитовы формы. Изоморфные представления. Существование инвариантной положительно определённой эрмитовой формы в представлении конечной группы. Инвариантные меры на S^1, R^*. Теорема Машке (над полем комплексных чисел). Двумерные комплексные представления конечных групп, классификация конечных подгрупп в SO_3(R). Характер представления и его свойства. Таблица характеров для S_3. Пятиминутка2	Домашнее задание 8 срок сдачи 25 ноября	Задачи семинара 9		Решение ДЗ8 (PDF, 61 Кб)
21-27 ноября	Виртуальные характеры представлений, функции классов, эрмитова форма на характерах представлений конечной группы. Соотношения ортогональности характеров неприводимых представлений. Приложения: критерий неприводимости представления, разложение представления на неприводимые. Таблица характеров для Z/3Z и S_4. Регулярное представление группы и его разложение на неприводимые. Пятиминутка3	Домашнее задание 9 срок сдачи 2 декабря	Задачи семинара 10	Листок по теории представлений. Срок сдачи 10.12.2014	Решение ДЗ9 (PDF, 58 Кб)
28 ноября - 4 декабря	Инвариантные операторы, лемма Шура. Усреднение операторов по группе. Доказательство соотношений ортогональности и теоремы о классификации представлений конечных групп. Перестановочные представления. Неприводимые представления группы A_5 размерностей 4 и 5 через перестановочные представления. Пятиминутка4	Домашнее задание 10 срок сдачи 9 декабря	Задачи семинара 11		Решение ДЗ10 (PDF, 65 Кб)
5-11 декабря	Коллоквиум Программа коллоквиума	Домашнее задание 11 срок сдачи 16 декабря	Задачи семинара 12
12-19 декабря	Компактные группы Ли. Примеры: S^1=SO_2(R), SO_3(R), SU_2(C). Классификация представлений группы S^1, связь регулярного представления с рядами Фурье. Тавтологическое представление группы SU_2(C) и его симметрические степени. Классы сопряжённости в SU_2(C), ограничение характера представления на максимальный тор. Классификация представлений группы SU_2(C). Пятиминутка: первая часть задачи 2б) из задач для подготовки к зачёту.	ДЗ нет	Задачи для подготовки к зачёту

Оценка во втором модуле: 50% Домашние задания + 30% Экзамен + 20% Листки+10% пятиминутки 
Второй курс Первый модуль
Правила досрочного зачёта

	лекция	домашнее задание	задачи семинара	листок	решения ДЗ
1-5 сентября	Кольцо многочленов от нескольких переменных и его свойства: соответствие между идеалами и алгебраическими подмножествами, формулировки теоремы Гильберта о нулях и теоремы Безу. Общность положения и доказательство основной теоремы алгебры.	ДЗ1 Срок сдачи 9 сентября	Семинар 1 по алгебре		Решение ДЗ1
8-12 сентября	Симметрические многочлены, элементарные симметрические функции, основная теорема о симметричесикх многочленах. Дискриминанты, результанты и доказательство теоремы Безу для двух переменных через результант.	ДЗ2 Срок сдачи 16 сентября	Семинар 2 по алгебре		Решение ДЗ2
15-19 сентября	Результант как определитель матрицы Сильвестра. Обобщения теоремы Безу: многоугольник Ньютона многочлена, формулировки теоремы Кушниренко и Бернштейна.	ДЗ3 Срок сдачи 23 сентября	Семинар 3 по алгебре		Решение ДЗ3
22-26 сентября	Связь между квадратной матрицей с коэффициентами в кольце, матрицей алгебраических дополнений и определителем. Результант многочленов f и g лежит в идеале, порождённом f и g. Кольцо многочленов с целыми коэффициентами факториально, лемма Гаусса, критерий Эйзенштейна. Пример неприводимого, но не простого элемента.	ДЗ4 Срок сдачи 30 сентября	Cеминар 4 по алгебре	Листок по симметрическим многочленам, дискриминантам и результантам. Срок сдачи 8.10.2014	Решение ДЗ4
29 сентября - 3 октября	Поле частных области целостности, группа Гротендика полугруппы: поле рядов Лорана, группа виртуальных выпуклых тел. Кольцо многочленов над факториальным кольцом факториально. Целые алгебраические числа. Кольца целых квадратичных числовых полей.	ДЗ5 Срок сдачи 7 октября	Семинар 5 по алгебре		Решение ДЗ5
6-10 октября	Идеалы в кольцах целых мнимых квадратичных полей. Пример: идеалы в Z[\sqrt -5]. Произведение идеалов. Группа классов идеалов и число классов. Разложение идеала (6) в Z[\sqrt -5] на простые идеалы.	ДЗ6 Срок сдачи 14 октября	Семинар по алгебре 6		Решение ДЗ6
13-17 октября	Существование и единственность разложения на простые идеалы в кольцах целых мнимых квадратичных полей. Квадратичные кольца, кольца целых числовых полей, дедекиндовы кольца.	ДЗ нет	Семинар по алгебре 7	Листок по кольцам целых числовых полей. Срок сдачи 19.11.2014.
20-24 октября	Консультация		Задачи для подготовки к зачёту

Оценка в первом модуле: 50% Домашние задания + 30% Экзамен + 20% Листки

---

---

Здесь можно найти материалы по алгебре для первого курса за 2013-2014 учебный год

Первый курс Четвёртый модуль

	лекция	записки лекции	семинар	домашнее задание	листок
2 апреля	Кольца, идеалы. Евклидовы кольца. Кольца главных идеалов. Факториальность колец главных идеалов. Китайская теорема об остатках для колец главных идеалов.	Лекция 1	Задачи семинара 1	ДЗ1   Срок сдачи 10 апреля	Листок 2. Срок сдачи 15 мая
9 апреля	Максимальные и простые идеалы. Модули над кольцами: определение, примеры. Конечнопорожденные модули.	Лекция 2	Задачи семинара 2	ДЗ 2 Срок сдачи 17 апреля
16 апреля	Циклические модули. Аннулятор модуля. Свободные модули, ранг. Подмодули свободных модулей, их ранги. Теорема о взаимных базисах (доказательство для A=Z).	Лекция 3	Задачи семинара 3	ДЗ 3 Срок сдачи 24 апреля
23 апреля	Теорема о взаимных базисах: общее доказательство. Каноническое и примарное разложение конечно порожденного модуля. Единственность примарного разложения. Следствия: теорема о конечно порожденных абелевых группах и теорема о жордановой нормальной форме.		Задачи семинара 4	ДЗ нет, готовьтесь к контрольной!
28 апреля	Контрольная работа
30 апреля	Пространство с оператором. Жорданова и фробениусова нормальные формы (лекцию читал Л.Г.Рыбников).
14 мая	Полилинейные отображения. Тензорное произведение векторных пространств. Независимость от базиса, универсальное свойство. Примеры: комплексификация вещественных пространств, Hom(V;W) и пространства полилинейных отображений как тензорные произведения пространств.	Лекция 6	Задачи семинара 5	ДЗ 4  Срок сдачи 22 мая	Листок e (дополнительный) Срок сдачи 15 июня
21 мая	лекции не было (замена 28 апреля)		Задачи семинара 6	ДЗ 5Срок сдачи 29 мая
28 мая	Тензорная алгебра. Симметрические и внешние степени пространства. Симметрическая и внешняя алгебры. (лекцию читал Л.Г.Рыбников)	Лекция 7
6 июня	Симметризация и альтернирование. Разложимые поливекторы, грассманиан, вложение Плюккера. Задание грассманиана алгебраическими уравнениями.	Лекция 8	Задачи семинара 7
11 июня	Консультация, ответы на вопросы.		Задачи для подготовки к экзамену
17 июня, вторник	Экзамен (11:00-14:00)

Лекции: среда, 10:30-11:50, ауд. 213

Лектор: Евгений Юрьевич Смирнов, esmirnov@hse.ru

Семинары:

• Группа 1: чт 13:30-14:50, ауд. 311

  Преподаватели: Евгений Юрьевич Смирнов, Сергей Миронович Натанзон

• Группа 2: пт 13:30-14:50, ауд. 311

  Преподаватели: Сергей Сергеевич Галкин, Сергей Михайлович Львовский,

• Группа 3: пн 10:30-11:50, ауд. 1001

  Преподаватели: Леонид Григорьевич Рыбников, Тоширо Кувабара

• Группа 4: ср 12:00-13:20, ауд. 1001

  Преподаватели: Михаил Владленович Финкельберг, Леонид Ефимович Посицельский
  

Третий модуль

	лекция	записки лекции	семинар	домашнее задание	листок
15 января	Векторные пространства. Сопряженное векторное пространство, двойственность.	Лекция 1	Семинар 1	ДЗ 1	Листок 1
22 января	Билинейные формы. Скалярное произведение. Ортогональное дополнение.		Семинар 2	ДЗ 2
29 января	Квадратичные формы. Поляризация. Нормальный вид квадратичной формы, метод Лагранжа приведения формы к сумме квадратов, связь с ортогонализацией Грама-Шмидта		Семинар 3	ДЗ 3
5 февраля	Метод Якоби приведения формы к сумме квадратов. Критерий Сильвестра.		Семинар 4	ДЗ 4
12 февраля	Операторы в евклидовых пространствах. Симметрические, кососимметрические и ортогональные операторы. Канонический вид симметрического и кососимметрического оператора; собственные значения.		Семинар 5	ДЗ 5
19 февраля	Канонический вид ортогонального оператора; собственные значения. Извлечение корня из положительного симметрического оператора. Полярное разложение.		Семинар 6	ДЗ 6
26 февраля	Полуторалинейные и эрмитовы формы. Эрмитово пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Эрмитовы, косоэрмитовы и унитарные операторы. Собственные значения, диагонализуемость. Полярное разложение оператора в эрмитовом пространстве. (сдвоенная лекция)	Лекция 7 Лекция 8
5 марта	Кватернионы, связь с геометрией трехмерного пространства. Накрытие SU(2)->SO(3).		Семинар 7	ДЗ 7
12 марта	Комплексификация и овеществление. Вещественная и комплексная структуры. Продолжение эрмитовой формы.		Семинар 8	ДЗ 8, бонусное
19 марта			Задачи для подготовки к зачету
25 марта	Зачет		Зачетное задание

---

---

Первый и второй модуль (лектор В.А.Кириченко)

	лекция	семинар	домашнее задание	листок
12-13 сентября	Определения: кольцо, поле, изоморфизм колец, подкольцо, делитель нуля, умножение матриц. Примеры: комплексные числа, поле из двух элементов, кольцо 2x2 матриц, кольцо эндоморфизмов плоскости, кватернионы, октавы.	Задачи семинара 1	ДЗ№1 Срок сдачи 20 сентября 2013	Листок 1 Срок сдачи 17 октября
19-20 сентября	Делимость в кольцах, область целостности, простые и неприводимые элементы, факториальное кольцо, наибольший общий делитель. Примеры: кольцо целых, кольцо многочленов, кольцо формальных степенных рядов, кольцо Z[\sqrt5]. Деление с остатком в кольце целых и в кольце многочленов над полем. Алгоритм Евклида.	Задачисеминара 2	ДЗ№2 Срок сдачи 27 сентября
26-27 сентября	Евклидовы кольца. Факториальность евклидовых колец. Примеры: целые числа Гаусса и целые числа Гурвица. Связь с представимостью натуральных чисел в виде суммы 2х и 4х квадратов. Кольца вычетов. Конечные поля.	Задачисеминара 3	ДЗ№3 Срок сдачи 4 октября
3-4 октября	Прямая сумма колец, идемпотенты, китайская теорема об остатках. Интерполяционная формула Лагранжа. Гомоморфизм колец, эндоморфизм кольца, ядро и образ гомоморфизма, идеал.	Задачи семинара 4	ДЗ№4 Срок сдачи 11 октября
10-11 октября	Векторные пространства, подпространства, векторы. Примеры: координатное пространство, кольцо многочленов над полем, расширение поля, пространства над полем из двух элементов. Линейные операторы. Примеры: эндоморфизмы плоскости, умножение на многочлен и дифференцирование,  умножение  на элемент расширения. Линейные комбинации векторов, линейная независимость векторов.	Задачи семинара 5	ДЗ№5 Срок сдачи 18 октября
17-18 октября	Приведение матрицы к ступечатому виду элементарными преобразованиями строк. Ядро и образ линейного оператора. Базис и размерность. Пример: интерполяционная формула Лагранжа. Классификация конечномерных векторных пространств.	Задачи семинара 6	ДЗ№6 Срок сдачи 25 октября	Листок 2 Срок сдачи 5 декабря
24-25 октября	Ориентированный объём параллелепипеда. Определитель квадратной матрицы. Алгебра Грассмана.	Задачи для подготовки к зачёту	Решения избранных задач из ДЗ	Листок e Срок сдачи 19 декабря
31 октября	Зачёт	Зачёт 31.10.2013
7-8 ноября	Прямая сумма пространств. Сумма и пересечение подпространств. Симметрические и кососимметрические матрицы. Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные числа оператора.	Задачи семинара 7	ДЗ№7 Срок сдачи 15 ноября
14-15 ноября	Теорема о существовании собственного вектора линейного оператора над полем комплексных чисел. Минимальный многочлен линейного оператора. Резольвенты Лагранжа линейного оператора (случай без кратных корней).	Задачи семинара 8	ДЗ№8 Срок сдачи 22 ноября
21-22 ноября	Собственные и корневые подпространства линейного оператора. Резольвенты Лагранжа линейного оператора (общий случай). Характеристический многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона-Кэли. Жорданова нормальная форма.	Задачи семинара 9	ДЗ№9 Срок сдачи 29 ноября
28-29 ноября	Группы, подгруппы, гомоморфизмы групп, действия групп на множествах, орбиты, стабилизаторы, коммутативные и циклические группы. Примеры: полная линейная группа GL_n, специальная линейная группа SL_n, группа вращений SO_n, симметрическая группа S_n, действие группы на себе слева, справа и сопряжениями. Теорема Кэли. Разложение перестановки в произведение непересекающихся циклов, знак перестановки.	Задачи семинара 10	ДЗ№10 Срок сдачи 6 декабря	Листок 3 Срок сдачи 19 декабря
5-6 декабря	Связь между порядками стабилизатора и орбиты. Левые классы смежности по подгруппе, теорема Лагранжа. Цикличность группы простого порядка. Классы сопряжённости, централизаторы, уравнение числа классов. Нормальные подгруппы, факторгруппы.	Задачи семинара 11	ДЗ№11 Срок сдачи 13 декабря
12-13 декабря	Теорема о гомоморфизме групп (нормальная подгруппа=ядро гомоморфизма). Пример: гомоморфизм из S_4 в S_3, группа Клейна. Группа автоморфизмов циклической группы, связь с классификацией групп порядка pq, где p<q простые. Задание группы образующими и соотношениями. Пример: свободная группа с двумя образующими. Теорема о строении конечно-порождённых абелевых групп.	Задачи семинара 12	ДЗ№12 Срок сдачи 20 декабря
19-20 декабря	Приведение целочисленной матрицы к диагональному виду элементарными преобразованиями строк и столбцов. Доказательство теоремы о строении конечно-порождённых абелевых групп.  Степень расширения полей и приложения к классическим задачам о построении циркулем и линейкой. Группа автоморфизмов расширения.	Задачи для подготовки к экзамену
26 декабря	Экзамен	Экзамен 26.12.2013

Лекции: пт 12:00-13:20, ауд. 209

Лектор: Кириченко Валентина Алексеевна, vkiritchenko@yahoo.ca

Семинары:

• Группа 1: чт  13:30-14:50, ауд. 311

  Преподаватели: Горинов Алексей Геннадьевич, agorinov@hse.ru

• Группа 2: пт 13:30-14:50, ауд. 311

  Преподаватели: Галкин Сергей Сергеевич, sgalkin@hse.ru (в сентябре Жгун Владимир Сергеевич, vzhgoon@hse.ru);  Львовский Сергей Михайлович, lvovski@gmail.com

• Группа 3: чт 13:30-14:50, ауд. 213

  Преподаватели: Кириченко Валентина Алексеевна; Смирнов Евгений Юрьевич, evgeny.smirnov@gmail.com

• Группа 4: пт 13:30-14:50, ауд. 213

  Преподаватели: Фейгин Евгений Борисович, evgfeig@gmail.com; Эстеров Александр Исаакович, esterov@gmail.com

Математический практикум: каждый второй чт (начиная с 21.11.2013), ауд. 213, 315, 10:30-11:50 (группы 3 и 4), 12:00-13:20 (группы 1 и 2)

Преподаватели: Артамкин Игорь Вадимович, Ахмедов Эмиль Тофик оглы, Бурман Юрий Михайлович, Кириченко Валентина Алексеевна, Кувабара Тоширо, Хорошкин Антон Сергеевич, Фейгин Евгений Борисович, Финкельберг Михаил Владленович.

Учебные ассистенты: вопросы по проверке домашних заданий можно задать учебным ассистентам
Артёму Авилову, v07ulias@gmail.com;  Олегу Григорьеву, shandy-tristram@rambler.ru; Игорю Махлину, imakhlin@mail.ru; Павлу Соломатину, pavelsolomatin179@gmail.com.

Рекомендуемые учебники:

• Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., Факториал, 1999

• M.Artin. Algebra. Pearson, 1991

• Б.Л.Ван дер Варден. Алгебра. М., Наука, 1979

Дополнительная литература:

• С.Г.Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. М., МЦНМО, 2006
• А.А.Кириллов. Что такое число? М., Физматлит, 1993
• И.Р.Шафаревич. Основные понятия алгебры. М., ВИНИТИ, 1986, 5–279
  
• Sh.Axler. Down with determinants!  American Mathematical Monthly, 102 (1995), 139-154

Программа: Алгебраические структуры встречаются в математике и физике на каждом шагу, поэтому важно освоить их в совершенстве. В этом курсе мы изучим три базовых типа структур: кольца, векторные пространства и группы.

• Кольца и поля, комплексные числа, матрицы, вычеты, гауссовы целые числа, многочлены, алгебраические числа, рациональные функции, формальные ряды.

• Векторные пространства, линейные операторы, собственные векторы, тождество Гамильтона-Кэли, корневое разложение. Системы линейных уравнений, определители.

• Группы, циклические группы, симметрическая группа, теорема Лагранжа, действие группы на множестве

Оценка: Нельзя изучить математику, не решая задачи. Каждую неделю на эту страницу будет выкладываться домашнее задание. Его нужно сдать в письменном виде точно в указанный срок. Опоздавшие домашние задания не принимаются. Каждый месяц будут выкладываться листки с задачами для устной сдачи на математическом практикуме. Их тоже нужно сдавать до истечения срока годности. В конце 2-го модуля будет письменный экзамен.
Итоговая оценка за 2-й модуль будет вычисляться следующим образом:

50% Домашние задания + 30% Экзамен + 20% Листки