• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Контакты

Тиморин Владлен Анатольевич
декан

 

Артамкин Игорь Вадимович
заместитель декана

 

Кузнецова Вера Витальевна
заместитель декана

 

Фейгин Евгений Борисович
заместитель декана

 

Эстеров Александр Исаакович
заместитель декана

119048, Москва,
ул. Усачёва, 6
тел. (495) 772-95-90 *12725 (секретарь)
тел. (495) 772-95-90 *12726 (декан)
тел. (495) 624-26-16
e-mail: math@hse.ru

Учебный офис:
mathstudyoffice@hse.ru

Редакторы сайта факультета:
Коршунов Дмитрий Олегович
Кузнецова Вера Витальевна

Алгебра 2 курс бакалавриата 2013-2014 учебный год

Второй курс Третий модуль
Объявление: В кондуите (графа диплом) появилась результирующая оценка за 3-й модуль (она будет стоять в ведомости и в дипломе), вычисленная как среднее арифметическое за все 7 модулей с округлением до ближайшего сверху целого числа. Жалобы на арифметические ошибки при вычислении оценки принимаются до 17:30 часов 30 марта.

 Правила досрочного экзамена за 3й модуль (PDF, 39 Кб)

Правила оформления электронных домашних работ
Результаты домашних заданий и листков.
неделялекциядомашнее заданиезадачи семинаралистки
12-16 январяОсновной вопрос теории Галуа и его формализации. Расширения полей, степень расширения, алгебраические и транцендентные элементы.
Мультипликативность степени расширения для башен полей. Построения
циркулем и линейкой, необходимое (с доказательством) и достаточное
(без доказательства) условие разрешимости задачи на построение.

 ДЗ№1 Срок сдачи
20 января
(PDF, 54 Кб)

 

 Задачи семинара 1 (PDF, 44 Кб)

 

 

  Листок по расширениям полей.
Срок сдачи 4 марта 2015 г.
(PDF, 66 Кб)

 

19-23 январяПоликвадратичные поля. Круговые поля и правильные многоугольники,
которые можно построить циркулем и линейкой. Неприводимость
кругового многочлена и степень кругового поля. Явное вычисление
квадратичного расширения поля рациональных чисел, содержащегося
в круговом поле, полученным присоедининением первообразного
корня простой степени.
 

 ДЗ№ 2 срок сдачи
27 января
(PDF, 57 Кб)

 

 

 Задачи семинара 2 (PDF, 56 Кб)

 

 

 

26-30 января Обмен лекциями с дин. системами ДЗ№2 переносится
на 3 февраля
 

 Задачи семинара 3 (PDF, 49 Кб)

 

 

 

2-6 февраля Группа автоморфизмов расширения. Теорема о примитивном
элементе. Сепарабельные и нормальные расширения. Пример
конечного несепарабельного расширения и расширения без
примитивного элемента. Нормальность поля разложения
многочлена. Расширения Галуа.
 

 ДЗ№ 3 срок сдачи
10 февраля
(PDF, 52 Кб)

 

 

 Задачи семинара 4 (PDF, 43 Кб)

 

 

 

9-13 февраляЭквивалентность четырёх определений расширения Галуа:
(1) нормальное сепарабельное расширение (2) порядок
группы автоморфизмов равен степени расширения
(3) поле инвариантов группы автоморфизмов совпадает с
основным полем (4) поле разложения сепарабельного
многочлена. Основная теорема теории Галуа.
 

 ДЗ№4 срок сдачи
17 февраля
(PDF, 60 Кб)

 

 

 

 Задачи семинара 5 (PDF, 50 Кб)

 

 
16-20 февраляНормальные подгруппы группы Галуа. Расширения с
циклической группой Галуа и разрешения, полученные
присоединением радикала. Резольвента Лагранжа
линейного оператора (напоминание).
 

ДЗ№5 срок сдачи
24 февраля
(PDF, 55 Кб)

 

 

 Задачи семинара 6 (PDF, 45 Кб)

 

 

 

 
24-27 февраляРезольвенты Лагранжа для циклической группы
Галуа. Разрешимые группы и разрешимость
уравнений в радикалах. Решение в радикалах
уравнений степени 2, 3 и 4. Кубическая
резольвента и её геометрическая интерпретация
через коники. Неразрешимость в радикалах общих
уравнений степени 5 и выше. Доказательство
достаточного условия построимости циркулем
и линейкой.
 

 

 ДЗ№6 (PDF, 56 Кб)

 

 

 

 

 

 Задачи семинара 7 (PDF, 62 Кб)

 

 

 

 

 Листок по теории Галуа
(срок сдачи 18 марта)
(PDF, 70 Кб)

 

 

 

2-6 мартаКоллоквиум Вопросы коллоквиума по алгебре (PDF, 66 Кб)   
10-13  мартаРасширение поля рациональных функций от n переменных
и универсальные формулы в радикалах для корней
уравнения степени  n.  Неразрешимость группы S_n при n>4.
Существование и единственность  конечного поля из p^k
элементов. Конечные расширения конечных полей 
и теория Галуа для них. Единственность поля разложения
многочлена.
   
16-20 мартаТопологическая теория Галуа: группа монодромии
многозначной аналитической функции, дифференциального
уравнения. Связь с алгебраической теорией Галуа: группа
монодромии алгебраической функции.
 

 Задачи для подготовки
к экзамену
(PDF, 48 Кб)

 

 

Лекции: вторник, 15:30-16:50, ауд. 213

Лектор: Кириченко Валентина Алексеевна, vkiritchenko@yahoo.ca

Семинары:
Матпрактикум: среда 13:30-16:50, ауд. 213 (каждая вторая неделя, начиная с 21 января)

Учебные ассистенты: Александра Викторова vict271@yandex.ru; Богдан Завьялов bzavjalov@mail.ru; Александра Кузнецова sasha.kuznetsova.57@gmail.com; Артём Курикша artem.kuriksha@gmail.com; Виктория Малясова malyasova.viktoriya@yandex.ru; Дмитрий Тюрин dimtyurin@mail.ru‎.

Рекомендуемые учебники:
  • Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., Факториал, 19
  • M.Artin. Algebra.Pearson, 1991
  • Б.Л.Ван дер Варден. Алгебра. М., Наука, 1979
  • А.Л.Городенцев. Алгебра. Учебник для студентов-математиков.М., МЦНМО, 2013
Дополнительная литература: Оценка в третьем модуле (используется только для вычисления итоговой оценки по курсу, в ведомость не идёт): 30%К+30%ДЗ+20%Э+20%Л. 
Итоговая оценка по курсу алгебры будет вычисляться как среднее арифметическое итоговых оценок за все 7 модулей.

Второй курс Второй модуль
Программа коллоквиума
неделялекциядомашнее заданиезадачи семинаралистокрешения ДЗ
7-13 ноябряПредставление группы, неприводимое представление, прямая сумма и тензорное произведение представлений. Примеры: тавтологическое представление симметрической группы, представления циклических групп, представления классических групп маленьких размерностей (исключительные гомоморфизмы). Теорема о классификации представлений конечных групп (без доказательства). Характеры группы.
Пятиминутка1
Домашнее задание 7срок сдачи 18 ноябряЗадачи семинара 8Листок по кольцам целых числовых полей. Срок сдачи 19.11.2014.
 
 

 Решение ДЗ7 (PDF, 52 Кб)

 

14-20 ноябряУнитарные представления, инвариантные эрмитовы формы. Изоморфные представления. Существование инвариантной положительно определённой эрмитовой формы в представлении конечной группы. Инвариантные меры на S^1, R^*. Теорема Машке (над полем комплексных чисел). Двумерные комплексные представления конечных групп, классификация конечных подгрупп в SO_3(R). Характер представления и его свойства. Таблица характеров для S_3.
Пятиминутка2
Домашнее задание 8 срок сдачи 25 ноябряЗадачи семинара 9  

 Решение ДЗ8 (PDF, 61 Кб)

 

21-27 ноябряВиртуальные характеры представлений, функции классов, эрмитова форма на характерах представлений конечной группы. Соотношения ортогональности характеров неприводимых представлений. Приложения: критерий неприводимости представления, разложение представления на неприводимые. Таблица характеров для Z/3Z и S_4. Регулярное представление группы и его разложение на неприводимые.
Пятиминутка3
Домашнее задание 9 срок сдачи 2 декабряЗадачи семинара 10  Листок по теории представлений. Срок сдачи 10.12.2014 

 Решение ДЗ9 (PDF, 58 Кб)

 

28 ноября - 4 декабряИнвариантные операторы, лемма Шура. Усреднение операторов по группе. Доказательство соотношений ортогональности и теоремы о классификации представлений конечных групп. Перестановочные представления. Неприводимые представления группы A_5 размерностей 4 и 5 через перестановочные представления.
Пятиминутка4
Домашнее задание 10 срок сдачи 9 декабряЗадачи семинара 11  

 Решение ДЗ10 (PDF, 65 Кб)

 

5-11 декабряКоллоквиум
Программа коллоквиума
Домашнее задание 11 срок сдачи 16 декабряЗадачи семинара 12  
12-19 декабряКомпактные группы Ли. Примеры: S^1=SO_2(R), SO_3(R), SU_2(C). Классификация представлений группы S^1, связь регулярного представления с рядами Фурье. Тавтологическое представление группы SU_2(C) и его симметрические степени. Классы сопряжённости в SU_2(C), ограничение характера представления на максимальный тор. Классификация представлений группы SU_2(C).
Пятиминутка: первая часть задачи 2б) из задач для подготовки к зачёту.
ДЗ нетЗадачи для подготовки к зачёту  


Оценка во втором модуле: 50% Домашние задания + 30% Экзамен + 20% Листки+10% пятиминутки 
Второй курс Первый модуль
Правила досрочного зачёта

 лекциядомашнее заданиезадачи семинаралистокрешения ДЗ
1-5 сентябряКольцо многочленов от нескольких переменных и его свойства: соответствие между идеалами и алгебраическими подмножествами, формулировки теоремы Гильберта о нулях и теоремы Безу. Общность положения и доказательство основной теоремы алгебры.ДЗ1 Срок сдачи 9 сентябряСеминар 1 по алгебре Решение ДЗ1
8-12 сентябряСимметрические многочлены, элементарные симметрические функции, основная теорема о симметричесикх многочленах. Дискриминанты, результанты и доказательство теоремы Безу для двух переменных через результант.ДЗ2 Срок сдачи 16 сентябряСеминар 2 по алгебре Решение ДЗ2 
 15-19 сентябряРезультант как определитель матрицы Сильвестра. Обобщения теоремы Безу: многоугольник Ньютона многочлена, формулировки теоремы Кушниренко и Бернштейна.
  
ДЗ3 Срок сдачи 23 сентября
Семинар 3 по алгебре
 Решение ДЗ3 
22-26 сентябряСвязь между квадратной матрицей с коэффициентами в кольце, матрицей алгебраических дополнений и определителем. Результант многочленов f и g лежит в идеале, порождённом f и g. Кольцо многочленов с целыми коэффициентами факториально, лемма Гаусса, критерий Эйзенштейна. Пример неприводимого, но не простого элемента.ДЗ4 Срок сдачи 30 сентябряCеминар 4 по алгебре   Листок по симметрическим многочленам, дискриминантам и результантам. Срок сдачи 8.10.2014Решение ДЗ4
29 сентября - 3 октябряПоле частных области целостности, группа Гротендика полугруппы: поле рядов Лорана, группа виртуальных выпуклых тел. Кольцо многочленов над факториальным кольцом факториально. Целые алгебраические числа. Кольца целых квадратичных числовых полей.ДЗ5 Срок сдачи 7 октября Семинар 5 по алгебре   Решение ДЗ5
 6-10 октябряИдеалы в кольцах целых мнимых квадратичных полей. Пример: идеалы в Z[\sqrt -5]. Произведение идеалов. Группа классов идеалов и число классов. Разложение идеала (6) в Z[\sqrt -5] на простые идеалы.  ДЗ6 Срок сдачи 14 октября  Семинар по алгебре 6   Решение ДЗ6
 13-17 октябряСуществование и единственность разложения на простые идеалы в кольцах целых мнимых квадратичных полей. Квадратичные кольца, кольца целых числовых полей, дедекиндовы кольца. ДЗ нет  Семинар по алгебре 7Листок по кольцам целых числовых полей. Срок сдачи 19.11.2014.  
 20-24 октябряКонсультация   Задачи для подготовки к зачёту  
      
Оценка в первом модуле: 50% Домашние задания + 30% Экзамен + 20% Листки



Здесь можно найти материалы по алгебре для первого курса за 2013-2014 учебный год

Первый курс Четвёртый модуль

 лекциязаписки лекциисеминардомашнее заданиелисток
2 апреляКольца, идеалы. Евклидовы кольца. Кольца главных идеалов. Факториальность колец главных идеалов. Китайская теорема об остатках для колец главных идеалов.Лекция 1Задачи семинара 1ДЗ1  
Срок сдачи 10 апреля
Листок 2.
Срок сдачи 15 мая
9 апреляМаксимальные и простые идеалы. Модули над кольцами: определение, примеры. Конечнопорожденные модули.Лекция 2Задачи семинара 2ДЗ 2
Срок сдачи 17 апреля
 
16 апреляЦиклические модули. Аннулятор модуля. Свободные модули, ранг. Подмодули свободных модулей, их ранги. Теорема о взаимных базисах (доказательство для A=Z).  Лекция 3Задачи семинара 3ДЗ 3
Срок сдачи 24 апреля
 
23 апреляТеорема о взаимных базисах: общее доказательство. Каноническое и примарное разложение конечно порожденного модуля. Единственность примарного разложения. Следствия: теорема о конечно порожденных абелевых группах и теорема о жордановой нормальной форме. Задачи семинара 4ДЗ нет, готовьтесь к контрольной! 
28 апреляКонтрольная работа    
30 апреляПространство с оператором. Жорданова и фробениусова нормальные формы (лекцию читал Л.Г.Рыбников).    
14 маяПолилинейные отображения. Тензорное произведение векторных пространств. Независимость от базиса, универсальное свойство. Примеры: комплексификация вещественных пространств, Hom(V;W) и пространства полилинейных отображений как тензорные произведения пространств.Лекция 6Задачи семинара 5  ДЗ 4 
Срок сдачи 22 мая
  Листок e (дополнительный)
Срок сдачи 15 июня
21 маялекции не было (замена 28 апреля) Задачи семинара 6ДЗ 5Срок сдачи 29 мая 
28 маяТензорная алгебра. Симметрические и внешние степени пространства. Симметрическая и внешняя алгебры. (лекцию читал Л.Г.Рыбников)Лекция 7   
6 июняСимметризация и альтернирование. Разложимые поливекторы, грассманиан, вложение Плюккера. Задание грассманиана алгебраическими уравнениями.Лекция 8Задачи семинара 7  
11 июняКонсультация, ответы на вопросы.   Задачи для подготовки к экзамену  
17 июня,
вторник
Экзамен (11:00-14:00)    





































Лекции: среда, 10:30-11:50, ауд. 213

Лектор: Евгений Юрьевич Смирнов, esmirnov@hse.ru

Семинары:
Третий модуль

 лекциязаписки лекциисеминардомашнее заданиелисток
15 январяВекторные пространства. Сопряженное векторное пространство, двойственность.  Лекция 1Семинар 1ДЗ 1Листок 1
22 январяБилинейные формы. Скалярное произведение. Ортогональное дополнение.  Семинар 2ДЗ 2 
29 январяКвадратичные формы. Поляризация. Нормальный вид квадратичной формы, метод Лагранжа приведения формы к сумме квадратов, связь с ортогонализацией Грама-Шмидта Семинар 3ДЗ 3 
5 февраляМетод Якоби приведения формы к сумме квадратов. Критерий Сильвестра.  Семинар 4ДЗ 4 
12 февраляОператоры в евклидовых пространствах. Симметрические, кососимметрические и ортогональные операторы. Канонический вид симметрического и кососимметрического оператора; собственные значения. Семинар 5ДЗ 5 
19 февраляКанонический вид ортогонального оператора; собственные значения. Извлечение корня из положительного симметрического оператора. Полярное разложение. Семинар 6ДЗ 6 
26 февраляПолуторалинейные и эрмитовы формы. Эрмитово пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Эрмитовы, косоэрмитовы и унитарные операторы. Собственные значения, диагонализуемость. Полярное разложение оператора в эрмитовом пространстве. (сдвоенная лекция)Лекция 7
Лекция 8
   
5 мартаКватернионы, связь с геометрией трехмерного пространства. Накрытие SU(2)->SO(3). Семинар 7ДЗ 7 
12 мартаКомплексификация и овеществление. Вещественная и комплексная структуры. Продолжение эрмитовой формы. Семинар 8ДЗ 8, бонусное 
19 марта  Задачи для подготовки к зачету  
25 мартаЗачет Зачетное задание  




































Первый и второй модуль (лектор В.А.Кириченко)
 лекциясеминардомашнее заданиелисток
12-13 сентябряОпределения: кольцо, поле, изоморфизм колец, подкольцо, делитель нуля, умножение матриц.
Примеры: комплексные числа, поле из двух элементов, кольцо 2x2 матриц, кольцо эндоморфизмов плоскости, кватернионы, октавы.
 Задачи семинара 1ДЗ№1 Срок сдачи 20 сентября 2013Листок 1 Срок сдачи 17 октября

19-20 сентябряДелимость в кольцах, область целостности, простые и неприводимые элементы, факториальное кольцо, наибольший общий делитель.
Примеры: кольцо целых, кольцо многочленов, кольцо формальных степенных рядов, кольцо Z[\sqrt5].
Деление с остатком в кольце целых и в кольце многочленов над полем.
Алгоритм Евклида.
Задачисеминара 2ДЗ№2 Срок сдачи 27 сентября 
26-27 сентябряЕвклидовы кольца.
Факториальность евклидовых колец.
Примеры: целые числа Гаусса и целые числа Гурвица.
Связь с представимостью натуральных чисел в виде суммы 2х и 4х квадратов.
Кольца вычетов.
Конечные поля.
Задачисеминара 3  ДЗ№3 Срок сдачи 4 октября 
3-4 октябряПрямая сумма колец, идемпотенты, китайская теорема об остатках.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Гомоморфизм колец, эндоморфизм кольца, ядро и образ гомоморфизма, идеал.
Задачи семинара 4ДЗ№4 Срок сдачи 11 октября 
10-11 октября

Векторные пространства, подпространства, векторы.
Примеры: координатное пространство, кольцо многочленов над полем, расширение поля, пространства над полем из двух элементов.
Линейные операторы.
Примеры: эндоморфизмы плоскости, умножение на многочлен и дифференцирование,  умножение  на элемент расширения.
Линейные комбинации векторов, линейная независимость векторов.
Задачи семинара 5ДЗ№5 Срок сдачи 18 октября 
 17-18 октябряПриведение матрицы к ступечатому виду элементарными преобразованиями строк.
Ядро и образ линейного оператора.
Базис и размерность.
Пример: интерполяционная формула Лагранжа.
Классификация конечномерных векторных пространств.
Задачи семинара 6  ДЗ№6 Срок сдачи 25 октябряЛисток 2 Срок сдачи 5 декабря
24-25 октября Ориентированный объём параллелепипеда.
Определитель квадратной матрицы.
Алгебра Грассмана.
Задачи для подготовки к зачётуРешения избранных задач из ДЗ   Листок e Срок сдачи 19 декабря
31 октябряЗачётЗачёт 31.10.2013  
7-8 ноябряПрямая сумма пространств.
Сумма и пересечение подпространств.
Симметрические и кососимметрические матрицы.
Матрица линейного оператора.
Собственные векторы и собственные числа оператора.
Задачи семинара 7ДЗ№7 Срок сдачи 15 ноября 
14-15 ноябряТеорема о существовании собственного вектора линейного оператора над полем комплексных чисел.
Минимальный многочлен линейного оператора.
Резольвенты Лагранжа линейного оператора (случай без кратных корней).
Задачи семинара 8ДЗ№8 Срок сдачи 22 ноября 
 21-22 ноябряСобственные и корневые подпространства линейного оператора.
Резольвенты Лагранжа линейного оператора (общий случай).
Характеристический многочлен линейного оператора.
Теорема Гамильтона-Кэли.
Жорданова нормальная форма.
Задачи семинара 9ДЗ№9 Срок сдачи 29 ноября 
 28-29 ноябряГруппы, подгруппы, гомоморфизмы групп, действия групп на множествах, орбиты, стабилизаторы, коммутативные и циклические группы.
Примеры: полная линейная группа GL_n, специальная линейная группа SL_n, группа вращений SO_n, симметрическая группа S_n, действие группы на себе слева, справа и сопряжениями.
Теорема Кэли.
Разложение перестановки в произведение непересекающихся циклов, знак перестановки.
Задачи семинара 10ДЗ№10 Срок сдачи 6 декабря  Листок 3 Срок сдачи 19 декабря
5-6 декабряСвязь между порядками стабилизатора и орбиты.
Левые классы смежности по подгруппе, теорема Лагранжа.
Цикличность группы простого порядка.
Классы сопряжённости, централизаторы, уравнение числа классов.
Нормальные подгруппы, факторгруппы.
Задачи семинара 11  ДЗ№11 Срок сдачи 13 декабря 
 12-13 декабряТеорема о гомоморфизме групп (нормальная подгруппа=ядро гомоморфизма).
Пример: гомоморфизм из S_4 в S_3, группа Клейна.
Группа автоморфизмов циклической группы, связь с классификацией групп порядка pq, где p<q простые.
Задание группы образующими и соотношениями.
Пример: свободная группа с двумя образующими.
Теорема о строении конечно-порождённых абелевых групп.
Задачи семинара 12ДЗ№12 Срок сдачи 20 декабря 
 19-20 декабряПриведение целочисленной матрицы к диагональному виду элементарными преобразованиями строк и столбцов.
Доказательство теоремы о строении конечно-порождённых абелевых групп. 
Степень расширения полей и приложения к классическим задачам о построении циркулем и линейкой.
Группа автоморфизмов расширения.
Задачи для подготовки к экзамену  
26 декабряЭкзаменЭкзамен 26.12.2013  

Лекции: пт 12:00-13:20, ауд. 209


Лектор: Кириченко Валентина Алексеевна, vkiritchenko@yahoo.ca

Семинары:

Математический практикум: каждый второй чт (начиная с 21.11.2013), ауд. 213, 315, 10:30-11:50 (группы 3 и 4), 12:00-13:20 (группы 1 и 2)

Преподаватели: Артамкин Игорь Вадимович, Ахмедов Эмиль Тофик оглы, Бурман Юрий Михайлович, Кириченко Валентина Алексеевна, Кувабара Тоширо, Хорошкин Антон Сергеевич, Фейгин Евгений БорисовичФинкельберг Михаил Владленович.

Учебные ассистенты: вопросы по проверке домашних заданий можно задать учебным ассистентам
Артёму Авилову, v07ulias@gmail.com;  Олегу Григорьеву, shandy-tristram@rambler.ru; Игорю Махлину, imakhlin@mail.ru; Павлу Соломатину, pavelsolomatin179@gmail.com.

Рекомендуемые учебники:
  • Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., Факториал, 1999

  • M.Artin. Algebra. Pearson, 1991

  • Б.Л.Ван дер Варден. Алгебра. М., Наука, 1979

Дополнительная литература:

Программа: Алгебраические структуры встречаются в математике и физике на каждом шагу, поэтому важно освоить их в совершенстве. В этом курсе мы изучим три базовых типа структур: кольца, векторные пространства и группы.

  • Кольца и поля, комплексные числа, матрицы, вычеты, гауссовы целые числа, многочлены, алгебраические числа, рациональные функции, формальные ряды.

  • Векторные пространства, линейные операторы, собственные векторы, тождество Гамильтона-Кэли, корневое разложение. Системы линейных уравнений, определители.

  • Группы, циклические группы, симметрическая группа, теорема Лагранжа, действие группы на множестве

Оценка: Нельзя изучить математику, не решая задачи. Каждую неделю на эту страницу будет выкладываться домашнее задание. Его нужно сдать в письменном виде точно в указанный срок. Опоздавшие домашние задания не принимаются. Каждый месяц будут выкладываться листки с задачами для устной сдачи на математическом практикуме. Их тоже нужно сдавать до истечения срока годности. В конце 2-го модуля будет письменный экзамен.
Итоговая оценка за 2-й модуль будет вычисляться следующим образом:

50% Домашние задания + 30% Экзамен + 20% Листки